Bài giảng Phương pháp tính - Chương 3: Hệ phương trình tuyến tính

Bài giảng “Phương pháp tính – Chương 3: Hệ phương trình tuyến tính” cung cấp cho người học các kiến thức: Phương pháp Gauss, phương pháp nhân tử LU, phương pháp Cholesky, chuẩn, hệ phương trình ổn định và số điều kiện,… Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Phương pháp tính - Chương 3: Hệ phương trình tuyến tính CHƯƠNG 3HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNHI. ĐẶT BÀI TOÁN :Hệ phương trình tuyến tính n pt và nẩn có dạng Ax = b vớiCác phương pháp giải ➢ Phương pháp giải chính xác ▪ Phương pháp Gauss ▪ Phương pháp nhân tử LU ▪ Phương pháp Cholesky ➢ Phương pháp giải gần đúng ▪ Phương pháp lặp Jacobi ▪ Phương pháp lặp Gauss-SeidelII. PHƯƠNG PHÁP GAUSS 1. Các dạng ma trận đặc biệt : a. Ma trận tam giác dưới detA = a11a22 . . . ann ≠ 0 ⇔ aii ≠ 0, ∀i Phương trình có nghiệm b. Ma trận tam giác trên :detA = a11a22 . . . ann ≠ 0 ⇔ aii ≠ 0, ∀iPhương trình có nghiệm2. Phương pháp Gauss : Ta sử dụng các phép biến đổi sơ cấp theo dòng để chuyển ma trận A về ma trân tam giác trên Các phép biến đổi sơ cấp theo dòng ➢ hoán chuyển 2 dòng ➢ nhân 1 dòng với 1 số khác 0 ➢ cộng 1 dòng với dòng khácVí dụ : Giải hệ phương trìnhGiảiGiải pt ma trận tam giác trên, ta được nghiệm x = (-7, 3, 2, 2)tIII. PHƯƠNG PHÁP NHÂN TỬ LUPhân tích ma trận A thành tích 2 ma trận L và U A = LUL : ma trận tam giác dướiU : ma trận tam giác trênPhương trình Ax = b ⇔ L(Ux) = bTa đưa về giải 2 hệ phương trìnhPhương pháp Doolittle :Giả sử A ma trận không suy biến và a11 ≠ 0Ta có thể phân tích A thành A = LU Ma trân Δ dưới Ma trân Δ trênCác phần tử của L và U được xác định theocông thứcVí dụ : Giải hệ phương trình Giải Ta phân tíchGiải hệ Ly = bGiải hệ Ux = yIV. PHƯƠNG PHÁP CHOLESKYPhương pháp Cholesky là pp LU với A là ma trậnđối xứng và xác định dươngĐịnh nghĩa : ➢ Ma trân A gọi là đối xứng nếu A = At ➢ Ma trân A gọi là xác định dương nếuĐể kiểm tra xác định dương, ta dùng đình lý sau: Định lý : Ma trận A là xác định dương khi và chỉ khi tất cả các định thức con chính của nó đều dương Ví dụ : Kiểm tra tính xác định dương của ma trận Giải Các định thức con chính: Vậy A là xác định dươngĐịnh lý (Cholesky) :Nếu A ma trận đối xứng và xác định dương, thì tồntại ma trận Δ dưới, khả đảo B sao cho A = BBt Ma trận B = (bij) tìm theo công thức sau :Ví dụ : Giải hệ phương trình Ax = b Giải Ta có A ma trận đối xứng và xác định dương Phân tích A = BBt Các hệ sốGiải hệ By = bGiải hệ Bt x = yVí dụ :a. Kiểm tra tính xác định dươngb. Phân tích A = BBT theo pp choleskyTính b11+b22+b33a. Các định thức con chính: Vậy A là xác định dươngb. Các hệ số b11+b22+b33 = 6V. CHUẨN : 1. Chuẩn vector : Có nhiều công thức chuẩn, thường ta dùng chuẩn ∞ và chuẩn 1 ∀x= (x1,x2,…, xn)t