Bài giảng "Phương pháp tính - Chương 3: Nội suy" có cấu trúc gồm 3 phần cung cấp cho người học các kiến thức: Nội suy đa thức, nội suy Spline bậc 3, phương pháp bình phương tối thiểu. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Phương pháp tính: Chương 3 - Ngô Thu Lương Chương III : NOÄI SUY1) Noäi suy ña thöùc2) Noäi suy Spline baäc 33) Phöông phaùp bình phöông toái thieåu Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 11.1) Noäi suy ña thöùc theo Lagrangea) Noäi dung : Bieát caùc giaù trò yi = f ( xi ) cuûa haømy = f ( x) taïi caùc ñieåm x i theo baûngTìm haøm laïi haøm f ( x)Lôøi giaûi : Voâ soá haømTìm f ( x) = P( x) chæ laø ña thöùc baäc n thoûa P ( xi ) = yi Lôøi giaûi laø duy nhaát Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 2 Caùc böôùc tìm ña thöùc P (x)Böôùc 1 : Thieát laäp ña thöùc cô sôû Lagrange n ( x − xk ) L i ( x) = ∏ k = 0 , k ≠ i ( xi − x k )Ví duï : L0 ( x) = ( x − x1)...(x − xi −1)(x − xi )..(x − xn )= ( x0 − x1)...(x0 − xi −1)(x0 − xi )..(x0 − xn ) Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 3Böôùc 2 : Coâng thöùc tính P(x) n P ( x ) = ∑ yi L i ( x ) = i=0 y 0 L 0 ( x ) + y1 L 1 ( x ) + ... + y n L n ( x )b) Sai soá : f ( x) − P( x) ≤ M ( n +1) ≤ ( x − x0 )( x − x1 )....( x − x n ) ( n + 1)! Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 4c) Nhaän xeùt :*) Soá moác noäi suy caøng lôùn thì sai soá caøng nhoû , tuy nhieân baäc cuûa ña thöùc seõ lôùn, tính toaùn seõ daøi .*)Sai soá phuï thuoäc vaøo M ( n +1) , thöïc teá khoâng bieát vì haøm f ( x) chöa bieát*)Ña thöùc noäi suy P (x) laø duy nhaát Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 5Ví du ï : Tìm ña thöùc noäi suy P(x) töø baûng soá lieäu x0 = − 1 , x1 = 0 , x2 = 1 1 y0 = , y1 = 1 , y2 = 3 3 Tính gaàn ñuùng giaù trò cuûa bảng taïi x = 0.7 Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 6Giaûi : Ta tìm caùc ña thöùc Lagrange ( x − 0)( x − 1) x 2 − x L0 ( x) = = (−1 − 0)(−1 − 1) 2 [ x − (−1)](x − 1) x 2 − 1 L1( x) = = [0 − (−1)](0 − 1) −1 [ x − (−1)]( x − 0) 2 x +x L2 ( x) = = [1 − (−1)](1 − 0) 2 1 2 x + 4x + 3 2P( x) = L0 ( x) + 1L1( x) + 3 L2 ( x) = 3 3 2.(0.7) 2 + 4.(0.7) + 3P ( 0. 7 ) = = 2.26 3 Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 7d) Tyû sai phaânTyû sai phaân baäc 0 cuûa f taïi x0 : f [ x0 ] = f ( x0 )Tyû sai phaân baäc 1 cuûa f taïi x0 , x1 : f [ x 1 ] − f [ x0 ] f [ x0 , x 1 ] = x 1 − x0Tyû sai phaân baäc 2 cuûa f taïi x 0 , x 1 , x 2 f [ x 1, x 2 ] − f [ x0 , x 1 ]f [ x0 , x 1, x2 ] = x 2 − x0Töông töï cho tyû sai phaân baäc cao hôn Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 8e) Baûng tyû sai phaân Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 9f) Noäi suy Newton tieán theo baûng tyû sai phaânÑa thöùc P (x) coù theå tìm döôùi daïngP( x) = a0 + a1( x − x0 ) + a2 ( x − x0 )( x − x1) + .. .. + an ( x − x0 )( x − x1)..( x − xn −1) Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 10 1 2 2 2 2 4P( x) = + ( x + 1) + ( x + 1)(x − 0) = x + x + 1 3 3 3 3 3 Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 11 g) Noäi suy Newton luøiP( x) = a0 + a1( x − xn ) + a2 ( x − xn )(x − xn−1) + .. ... + an ( x − xn )( x − xn −1 )..( x − x1 ) a0 = f [ x n ] a1 = f [ xn , xn −1 ]. a 2 = f [ xn , xn −1 , xn − 2 ] ak = f [ xn , xn −1, ... xn − k +1, xn − k ] a n = f [ x n , x n −1 ,.. x3 , x 2 , x1 , x 0 ] Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 12 2P ( x ) = 3 + 2( x − 1) + ( x − 1)( x − 0) 3 2 2 4 = 3 x + 3 x +1 Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 132) Noäi suy Spline baäc 3a) Noäi dung : Cho baûng soá lieäuTìm moät haøm S (x) thoûa caùc ñieàu kieän :S (x) : Đi qua các điểm đã cho trong bảngS (x) laø ña thöùc baäc 3 treân moãi ñoaïn nhoû [ x j , x j +1]( caùc ña thöùc naøy coù caùc heä soá khaùc nhau) Ngô Thu Lương – Phương Pháp Tính 14Goïi S j (x) laø ña thöùc treân moãi ñoaïn nhoû [ x j , x j +1] S j (x) thoûa caùc ñieàu kieän :a) S j ( x j ) = y j S j ( x j + 1) = y j +1b) S /j ( x j + 1) = S / ( x j + 1) ...
