Bài giảng Toán cao cấp 2: Chương 10 - TS. Trịnh Thị Hường

Bài giảng Toán cao cấp 2: Chương 10 cung cấp cho người học những kiến thức như: Khái niệm sai phân và phương trình sai phân; phương trình sai phân tuyến tính cấp một; phương trình sai phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng;...Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán cao cấp 2: Chương 10 - TS. Trịnh Thị HườngHỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP 2 CHƯƠNG 10PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN Giảng viên: T.S Trịnh Thị Hường Bộ môn : Toán Email: trinhthihuong@tmu.edu.vn BÀI 1: KHÁI NIỆM SAI PHÂN VÀ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN1. Sai phân Giả sử y (n) là một hàm số, biến n xác định trên ? +. Giá trị của hàm số tại n kí hiệu là y(n). • Sai phân cấp một của hàm số y(n) tại n là: Δ? ? = ? ? + 1 − ?(?) • Sai phân cấp hai của hàm số y(n) tại n là: Δ2 ? ? = Δ Δ? ? = ? ? + 2 − 2? ? + 1 + ?(?)2. Phương trình sai phânĐịnh nghĩa 1: Giải sử y(n) là một hàm số đối sốnguyên, chưa biết, cần tìm. Đẳng thức F n, y n , Δy n , … Δk y n =0 (1)Trong đó không được khuyết Δk y n , gọi là mộtphương trình sai phân cấp k.Ví dụ: • Phương trình sai phân cấp một có dạng: F n, y n , Δy n = 0 (2) • Phương trình sai phân cấp một có thể viết ở dạng sau ? ?, ? ? , ? ? + 1 = 0 3. NghiệmĐịnh nghĩa 2: Nghiệm của (1) là mọi hàm số màkhi thay vào phương trình được đẳng thức đúng. BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP MỘT1. Khái niệm a. Dạng phương trình Phương trình sai phân tuyến tính (PTSPTT) cấp 1 có dạng: ? ? ? ?+1 +? ? ? ? =? ? (1) ? ? , ? ? ?à ?á? ℎà? ?ố ?à ? ? . ? ? ≠ 0 Phương trình ? ? ? ? + 1 + ? ? ? ? = 0 gọi là PTSPTT thuần nhất cuả PT (1).b. NghiệmNghiệm tổng quát: Giải phương trình sai phân cấpmột, được kết quả là một đẳng thức dạng ? ? = ?(?, ?)trong đó C là hằng số tự do. Thay giá trị cụ thể ? = ?0 , ta được đẳng thức ? ? = ?(?, ?0 )gọi là một nghiệm riêng của phương trình.2. Phương trình sai phân tuyến tính cấp một hệ số hằng a. Dạng phương trình ?? ?+1 +?? ? =? ? (1) (?? ≠ 0)• Phương trình thuần nhất tương ứng là: ? ? ? + 1 + ? ? ? = 0 (2)b. Định lý về nghiệm Nếu ? ? là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (2) ?(?) là một nghiệm riêng của phương trình (1) Thì ? ? = ? ? + ? ? là nghiệm tổng quát của phương trình (1)c. Giải phương trình thuần nhất Định lý: Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là ? ? ? ? =? − , ? ?à ℎằ?? ?ố ?ù? ý ? Ví dụ: Giải phương trình ? ? + 1 + 4? ? = 0d. Phương pháp chọn nghiệm riêng của PT khôngthuần nhấtTrường hợp 1: ? ? = ?? ?? (?) (?? (?) là đa thức bậc m của n) ?Định lý: Nếu ? ≠ − thì nghiệm riêng có thể tìm dưới ?dạng ? ? = ? ? ?? (?)trong đó ?? (?) là đa thức bậc m, hệ số chưa biết, có thểtìm bằng phương pháp hệ số bất định. ? Nếu ? = − thì nghiệm riêng có thể tìm dưới dạng ? ? ? = ?? ? ?? (?)Ví dụ: Giải các PTSP a) ? ? + 1 − 5? ? = 3? b) ? ? + 1 − 2? ? = 6.2?Trường hợp 2: ? ? = ?? [?? ? ??? ?? + ?? ? ??? ??](?? ? , ?? ? là các đa thức tương ứng bậc m, bậc l) Định lý: Nghiệm riêng có thể tìm dưới dạng ? ? = ? ? [?h ? cos ?? + ?ℎ ? sin ??] Trong đó h= max {m, l} Ví dụ: Giải phương trình sai phân sau: ?? ?? ? ? + 1 − 2? ? = −2 cos − sin 2 2b. Giải phương trình không thuần nhấtThay n lần lượt bởi 0, 1, 2, …, n-1CHÚ Ý Khi sử dụng phương pháp biến thiên hằng số thường dẫn đến phương trình tuyến tính cấp 1 để tìm ?(?) ở dạng ? ? + 1 − ? ? = ?(?)Trường hợp đơn giản thì ta thường thay lần lượt các giá trịcho ? rồi cộng theo vế. Khi đó nếu tổng ở vế phải phức tạpthì ta có thể để kết quả ở công thức tính tổng.Trong trường hợp ?(?) có thể viết ở dạng ? ? = ? ? ?? (?)hoặc ? ? = ? ? (?? ? ????? ± ?? ? ?????) có thể tìm? ? bằng cách giải phương trình sai phân tuyến tính cấp 1hệ số hằng. Ví dụ: Giải phương trình sai phân sau ? ?+1a.? ? + 1 − 3? ? ? = 3 2 (?2 −2n + 3) ? ?+1b. ? ? + 1 − 3? ? ? = 3 2 2? (n + 1)III. PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂNTUYẾN TÍNH CẤP HAI HỆ SỐ HẰNG ...