Bài giảng Toán cao cấp A1 – Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính

Bài giảng "Toán cao cấp A1 – Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính" trình bày hệ phương trình tổng quát, định lý Crocneker – capelli, phương pháp giải hệ phương trình tổng quát; hệ phương trình thuần nhất.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán cao cấp A1 – Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính ➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính §1. Hệ phương trình tổng quát §2. Hệ phương trình thuần nhất …………………………………………………………… §1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT1.1. Định nghĩaHệ gồm n ẩn x i (i 1,2,..., n ) và m phương trình: a11x 1 a12x 2 ... a1n x n b1 a21x 1 a22x 2 ... a2n x n b2 (I ) .......................................... am 1x 1 am 2x 2 ... amn x n bmtrong đó, hệ số aij , bj (i 1,..., n; j 1,..., m),được gọi là hệ phương trình tuyến tính tổng quát. ➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính a11 ... a1n Đặt: A ... ... ... aij , m n am 1 ... amn T T B b1 ... bm và X x 1 ... x n lần lượt là ma trận hệ số, ma trận cột hệ số tự do và ma trận cột ẩn. Khi đó, hệ (I ) trở thành AX B . T• Bộ số 1 ... n hoặc 1 ; ...; n được gọi là nghiệm của (I ) nếu A B. ➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tínhVD 1. Cho hệ phương trình: x 1 x 2 2x 3 4x 4 4 2x 1 x 2 4x 3 3 2x 2 7x 3 5.Hệ phương trình được viết lại dưới dạng ma trận: x1 1 1 2 4 4 x2 2 1 4 0 3 x3 0 2 7 0 5 x4 và (1; 1; 1; 1) là 1 nghiệm của hệ. ➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính1.2. Định lý Crocneker – CapelliCho hệ phương trình tuyến tính AX B . Gọi ma trận a11 a12 ... a1n b1mở rộng là A AB ... ... ... ... ... . am 1 am 2 ... amn bmĐịnh lýHệ AX B có nghiệm khi và chỉ khi r (A) r (A).Trong trường hợp hệ AX B có nghiệm thì:▪ Nếu r (A) n : kết luận hệ có nghiệm duy nhất;▪ Nếu r (A) n : kết luận hệ có vô số nghiệm phụ thuộc vào n r tham số. ➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tínhVD 2. Tùy theo điều kiện tham số m , hãy biện luận số nghiệm của hệ phương trình: x my 3z 0 2 (1 m )z m 1.Giải. Hệ đã cho có 3 ẩn, ta có: 1 m 3 1 m 3 0 A 2 , A 2 . 0 0 1 m 0 0 1 m m 1• Nếu m 1 thì r (A) r (A) 1 3 . Ta suy ra hệ có vô số nghiệm phụ thuộc 2 tham số. ➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính• Nếu m 1 thì r (A) 1 2 r (A). Ta suy ra hệ vô nghiệm.• Nếu m 1 thì r (A) r (A) 2 3. Ta suy ra hệ có vô số nghiệm phụ thuộc 1 tham số. ➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tínhVD 3. Điều kiện của tham số m để hệ phương trình: mx 8z 7t m 1 3x my 2z 4t m mz 5t m2 1 5z mt 2m 2 có nghiệm duy nhất là:A. m 0 ; B. m 1; C. m 1; D. m 5. ➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tínhGiải. Hệ có 4 ẩn và ma trận hệ số là: m 0 8 7 3 m 2 4 A . 0 0 m 5 0 0 5 mHệ có nghiệm duy nhất r (A) 4 m 0 m 5 det A 0 0 3 m 5 m 2 2 m (m 25) 0 m 0 A. ➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính1.3. Phương pháp giải hệ phương trình tổng quáta) Phương pháp ma trận (tham khảo) Cho hệ phương trình tuyến tính AX B , với A là ma trận vuông cấp n khả nghịch. Ta có: 1 AX B X A B.VD 4. Giải hệ phương trình tuyến tính sau bằng phương pháp ma trận: 2x y z 1 y 3z 3 2x y z 1. ➢ Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 2 1 1 1 1 2 1 1Giải. A 0 1 3 A 3 2 3. 2 2 1 1 1 0 1 1Hệ phương trình X A B x 1 1 2 1 x 3 1 y 3 2 3 3 y 6 . 2 z 1 0 1 1 z 1 x 3,Vậy hệ đã ch ...