Bài giảng Toán cao cấp A1: Chương 3 - Võ Duy Minh

Bài giảng Toán cao cấp A1: Chương 3 Tích phân, cung cấp cho người học những kiến thức như: Nguyên hàm và tích phân bất định; Tích phân xác định; Tích phân suy rộng. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán cao cấp A1: Chương 3 - Võ Duy Minh Chương III: TÍCH PHÂN • Nguyên hàm và tích phân bất định • Tích phân xác định • Tích phân suy rộng 1 Nguyên hàm và tích phân bất định Cho hàm số f(x) xác định trên (a; b). Hàm số F(x) đgl một nguyên hàm của f(x) trên (a; b) nếu F'(x) = f(x) Nếu F(x)_ nguyên hàm của hàm f(x) trên (a; b) thì F(x) + C là nguyên hàm của hàm f(x) vì [F(x) + C]' = F'(x) = f(x) Tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm f(x) trên (a; b) được gọi là tích phân bất định của hàm f(x) trên (a; b), KH ∫ f(x)dx; f(x) : hàm số dưới dấu tích phân, f(x)dx : biểu thức dưới dấu tích phân ∫ f(x)dx = F(x) + C ⇔ F '(x) = f(x) 2 Tích phân một số hàm sơ cấp / ( ∫ f(x)dx ) = f(x) ∫ [ Af(x) + Bg(x)] dx = A ∫ f(x)dx + B∫ g(x)dx ∫ 0dx = C ∫ 1dx = ∫ dx = x + C 1 n +1 dx ∫ x dx = n + 1 x + C ∫ x = ln x + C n a x ∫ a dx = ln a + C x 3 Tích phân một số hàm sơ cấp ∫ cos xdx = sin x + C ∫ sin xdx = − cos x + C 2 dx ∫ (1 + tg x)dx = ∫ cos2 x = tgx + C dx ∫ (1 + cot g x)dx = ∫ sin2 x = − cot gx + C 2 dx ∫ 1 + x2 = arctgx + C = −arccotgx + C dx 1 x ∫ a2 + x2 = a arctg a + C 4 Tích phân một số hàm sơ cấp dx 1 x−a ∫ x2 − a2 = 2a ln x + a + C dx 1 a+x ∫ a2 − x2 = 2a ln a − x + C dx ∫ = arcsin x + C = − arccosx + C 1 − x2 dx x ∫ = arcsin + C a2 − x 2 a dx ∫ x2 ± a = ln x + x 2 ± a + C 5 Phương pháp tính tích phân PP đổi biến Nếu hàm số x = ϕ(t) có đạo hàm liên tục và có hàm ngược t = ϕ-1(x) thì ∫ f(x)dx = f ϕ(t) ∫ [ ] ϕ '(t)dt = F(t) + C = F   ϕ −1 (x)   + C dx VD 1 I=∫ Đặt t = ⇒ x x= t2 ⇒ dx = 2tdt 1+ x tdt  1  I = 2∫ = 2∫ 1 − dt 1+ t  1+ t  = 2(t − ln(1 + t)) + C = 2  x − ln(1 + x ) + C 6 Phương pháp tính tích phân PP đổi biến dx VD 2 I=∫ sin x x 2dt Cách 1 Đặt t = tg ⇒ x = 2arctgt ⇒ dx = 2 1 + t2 2t dt x s inx = I = ∫ = ln t + C = ln tg + C 1+ t 2 t 2 Cách 2 dx sin xdx d(cos x) 1 1 + cos x I=∫ =∫ =∫ = ln C sin x 2 sin x 1 − cos x 2 1 − cos x 2 7 PP tích phân từng phần ∫ udv = uv − ∫ vdu (1)Tính các tích phân dạng I = ∫ P(x)e dx; J = ∫ P(x)sin axdx; K = ∫ P(x)cosaxdx ax Đặt u = P(x) với P(x) là đa thức ∫ x ln xdx k kx (2) Tính L = α ; α ≠ −1, đặt u = ln (3) Tính M = ∫ P(x)(arcsin x) dx; N = ∫ P(x)(arctgx) dx n n Đặt u = arcsinx hay u = arctgx 8 PP tích phân từng phần ∫ udv = uv − ∫ vdu Tính các tích phân sau: I = ∫ xe dx 2x K = ∫ x arctgxdx 2 2 J = ∫ x e dx 2 2x ln x L = ∫ 2 dx x 9 Tích phân các phân thức đơn giản ln x − a + C khi n = 1 dx  ∫ (x − a)n =  1  (1 − n)(x − a)n −1 + C khi n > 1  dx (x − 1) −4 −1 VD 1 ∫ ...