Bài giảng Toán cao cấp C1: Chương 4 - Phạm Trung Hiếu

Bài giảng Toán cao cấp C1 - Chương 4: Hàm nhiều biến cung cấp cho người học các kiến thức về hàm nhiều biến, giới hạn và liên tục, đạo hàm riêng và vi phân toàn phần, cực trị của hàm hai biến, tích phân bội trên hình chữ nhật, ứng dụng trong kinh tế. Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán cao cấp C1: Chương 4 - Phạm Trung Hiếu10/25/2015Chương 4:Hàm nhiều biến§1. Hàm đa biếnGV. Phan Trung Hiếu§1. Hàm đa biến§2. Giới hạn và liên tục§3. Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần§4. Cực trị của hàm hai biến§5. Tích phân bội trên hình chữ nhậtLOGO§6. Ứng dụng trong kinh tế2I. Định nghĩa:Định nghĩa 1.1. Một hàm n biến là một quytắc đặt tương ứng mỗi bộ n số thực(x1, x2,…, xn) với một số thực duy nhất, kýhiệu là u  f ( x1 , x2 ,..., xn ) . Hay nói cách khác,ánh xạf : D  n  ( x1 , x2 ,..., x n )  u  f ( x1 , x2 ,..., xn )Tập hợp D gọi là miền xác định của hàm số f,nghĩa là tập các điểm ( x1 , x2 ,..., x n ) sao chobiểu thức f ( x1 , x2 ,..., x n ) có nghĩa. Miền giátrị của f là tập các giá trị mà f nhận được.Trường hợp n = 2, ta có hàm hai biến, thườngký hiệu là z  f ( x, y).Trường hợp n = 3, ta có hàm ba biến, thườngký hiệu là u  f ( x, y, z) .được gọi là hàm n biến xác định trên D.34Ví dụ 1.1. Tìm miền xác định của các hàm sốsauD là tập hợp những điểm nằm trong hay nằmtrên đường tròn tâm (0,0) bán kính 3a) f ( x , y )  x 2  y  sin( xy ).b) f ( x , y ) 9  x2  y2 .Giảia) Miền xác định: D  2b) f xác định  9  x 2  y 2  0  x 2  y 2  9Miền xác định: D  ( x , y )   2 | x 2  y 2  9Ví dụ 1.2. Cho hàm f ( x, y)  x  y 2  1.Tính f(1,1), f(0,-2).Giảif (1,1) f (0, 2) 56110/25/2015II. Đồ thị của hàm hai biến:Đồ thị của hàm số 2 biến f(x,y) xác định trên D làtập hợp tất cả các điểm ( x , y , z )   3sao choz  f (x, y) và ( x, y )  DVí dụ 2.1. Đồ thị của một số hàm hai biếnIII. Một số hàm hai biến số trong kinh tế:3.1. Hàm sản xuất: là hàm mô tả mối quan hệ phụthuộc của sản lượng vào vốn và lao động Q  f ( K , L )trong đó K: vốn; L: lao động.3.2. Hàm tổng chi phí: C  wk .K  wL .L  C0trong đó wK : giá thuê một đơn vị vốn;wL : giá thuê một đơn vị lao động;C0 : chi phí cố định.3.3. Hàm tổng doanh thu:R  P.Q  P. f ( K , L )trong đó P là giá thị trường của một đơn vị sản phẩm.78I. Giới hạn hàm hai biến:Định nghĩa 1.1: Cho hàm số z  f (x, y)xác địnhtrên D  2 . Ta nói hàm z  f (x, y) có giới hạnlà L khi (x,y) tiến về ( x0 , y0 ) nếu§2. Giới hạn và liên tục  0,   0 : ( x , y )  D , 0  ( x , y )  ( x 0 , y 0 )    f ( x , y )  L   .Ký hiệu làlim( x , y )( x 0 ,y0 )f ( x, y)  LChú ý 1.2:( x, y )  ( x0 , y0 )là khoảng cách từ điểm (x,y) đếnđiểm ( x0 , y0 ) .9Chú ý 1.2: Giới hạn của hàm hai biến cũng cónhững tính chất tương tự như giới hạn của hàmmột biến nhưng kỹ thuật tính toán nói chungphức tạp hơn và chúng ta không giới thiệu ở đây.10II. Tính liên tục của hàm hai biến:2.1. Liên tục tại một điểm: Hàm số z = f(x,y)liên tục tại điểm ( x0 , y0 )  D nếulim( x ,y )( x0 ,y0 )f ( x , y )  f ( x 0 , y0 )2.2. Liên tục trên một miền: Hàm số z = f(x,y)liên tục trên miền D nếu nó liên tục tại mọiđiểm thuộc D.1112210/25/2015I. Đạo hàm riêng cấp một:§3. Đạo hàm riêng vàvi phân toàn phầnXét hàm hai biến z = f(x,y) xác định trên miềnD. Khi đó, f có hai đạo hàm riêng cấp 1 làfz  fx : đạo hàm riêng theo biến x của hàm số fxx(lấy đạo hàm theo biến x và xem y như là hằng số)z   fy yf: đạo hàm riêng theo biến y của hàm số fy(lấy đạo hàm theo biến y và xem x như là hằng số)13Ví dụ 1.1: Tìm các đạo hàm riêng cấp 1 của cáchàm số saua ) f ( x, y )  x 3 y 2  x 4 y  y 4 .Giải223f x  3 x y  4 x y.f y  2 x 3 y  x 4  4 y 3 .14b) f ( x, y )  xy 2  ye 2 x 3 y .Giảif x  y  y (2 x  3 y ) .e2 x 3 yx2 y 2  2 y.e 2 x 3 yf y  2 xy  ( y )y .e2 x 3 y  y.( e 2 x 3 y )y 2 xy  e 2 x  3 y  3 ye 2 x 3 y15Ví dụ 1.2: Cho f ( x, y )  x 2 y 3  2 x  3 y  1.Tìm f x(1;0) và f y(1; 2).Giảif x  f x(1;0) f y  f y(1;2) 16II. Đạo hàm riêng cấp hai:Giả sử hàm hai biến z = f(x,y) có các đạo hàm riêng cấpmột. Khi đó, các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số là2 f ( f x)xx 2f yy 2 f ( f y)yy 2f xy 17f xx 2 f ( f x)yy xf yx 2 f ( f y )xxy18310/25/2015Ví dụ 2.1: Cho f ( x, y)  x 3 y  y 2 x 2. Tính các đạohàm riêng cấp hai của số f.Giảif x f y f xx   f x xf yy   f y  yf xy  ( f x)yf yx  ( f y )x19Chú ý 2.1: Các đạo hàm f xy , f yx được gọi là các đạo hàm riêng hỗn hợp cấp hai của hàm haibiến f(x,y). Các đạo hàm này khác nhau về thứtự lấy đạo hàm riêng theo từng biến x, y và dođó nói chung chúng khác nhau. Tuy nhiên,chúng có thể bằng nhau theo định lý sau đâyĐịnh lý về sự thay đổi thứ tự lấy đạo hàm(Định lý Schwarz): Nếu z = f(x,y) có các đạohàm riêng cấp hai liên tục thìf xy  f yx20III. Vi phân toàn phần của hàm hai biến:Vi phân toàn phân (vi phân cấp 1) của hàm 2 biếnz = f(x,y) làdf  f xdx  f ydy.22Ví dụ 3.1: Cho f ( x, y ) ...