Bài giảng Toán cao cấp C2: Phần 2 - Trường ĐH Võ Trường Toản

Bài giảng Toán cao cấp C2 đưa vào nhiều ví dụ và bài tập ứng dụng trong kinh tế để sinh viên làm quen với việc sử dụng công cụ toán học trong lĩnh vực kinh tế. Nối tiếp phần 1, phần 2 của tập bài giảng Toán cao cấp C2 này cung cấp cho sinh viên những nội dung về: Phép tính tích phân hàm một biến; Phương trình vi phân. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung bài giảng!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán cao cấp C2: Phần 2 - Trường ĐH Võ Trường Toản Chương 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Nội dung chương này bao gồm các kiến thức về nguyên hàm, tích phân xác định, tích phân suy rộng và các ứng dụng của tích phân. 3.1 Nguyên hàm và tích phân bất định 3.1.1 Nguyên hàm Định nghĩa 3.1 Hàm số F ( x ) được gọi là nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên khoảng ( a, b ) nếu x  ( a, b ) thì F ' ( x ) = f ( x ) . Hàm số F ( x ) được gọi là nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên đoạn  a, b  nếu F ' ( x ) = f ( x ) x  ( a, b ) và F+' ( a ) = f ( a ) , F−' ( b ) = f ( b ) . Ví dụ 3.1 x3 • Hàm số F ( x) = là nguyên hàm của hàm f ( x ) = x 2 trong khoảng bất 3 kỳ vì F ( x) = x2 , x. • Hàm số F ( x) = sin x là nguyên hàm của hàm f ( x) = cos x trong khoảng bất kỳ vì F ( x) = cos x, x. 1 1 • Hàm số F ( x) = là nguyên hàm của hàm f ( x) = − 2 trong khoảng bất x x 1 kỳ không chứa 0 vì F ( x) = − 2 , x  0. x Định lí 3.1 Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có nguyên hàm trên đoạn đó. Định lí 3.2 Nếu hàm số f ( x ) có nguyên hàm trên đoạn  a, b  thì a) F ( x ) + C , với C là một hằng số tùy ý cũng là nguyên hàm của f ( x ) . b) Mọi nguyên hàm của hàm số f ( x ) đều có dạng F ( x ) + C . Chứng minh. a) F ( x ) + C là nguyên hàm của f ( x ) vì  F ( x ) + C  = F  ( x ) = f ( x), x   a, b  .   b) Giả sử G ( x ) là một nguyên hàm khác của f ( x ) trên đoạn  a, b  . Ta có G( x) = f ( x); F  ( x ) = f ( x), x  a, b   G( x) − F ( x) = G( x) − F  ( x ) = 0, x  a, b  G( x) − F ( x) = C ( C là hằng số)  G( x) = F ( x) + C . ∎ Việc tìm nguyên hàm của hàm số còn được gọi là phép lấy tích phân của hàm số đó. 45 3.1.2 Tích phân không xác định a) Định nghĩa 3.2 Tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên khoảng ( a, b ) được gọi là tích phân không xác định (hay tích phân bất định) của f ( x) . Kí hiệu:  f ( x ) dx . Khi đó, nếu F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) thì  f ( x ) dx = F ( x ) + C . Trong đó,  là dấu tích phân, f ( x ) là hàm dưới dấu tích phân, f ( x ) dx là biểu thức dưới dấu tích phân, x là biến tích phân, C là hằng số tích phân. b) Các tính chất đơn giản (  f ( x ) dx ) = f ( x ) . ' • d (  f ( x ) dx ) = f ( x ) dx . ' • •  f ' ( x ) dx = f ( x ) + C hay  df ( x ) dx = f ( x ) + C . •  kf ( x ) dx = k  f ( x ) dx với k là hằng số khác 0. • Nếu f ( x ) , g ( x ) có nguyên hàm trên khoảng ( a, b ) thì   f ( x )  g ( x )dx =  f ( x ) dx   g ( x ) dx, x  ( a, b ) .   Ví dụ 3.2  ( x − 2x + 4) dx = 4 − x + 4x + C. x4 • 3 2  2  2 2 4 •   x+  3 x dx =  x dx +  3 x dx = x x + 3 3 x + C.  1  1 •   cos x + sin  2  dx =  cos x dx +  2 dx = sin x − cot x + C. x sin x c) Các công thức tính tích phân cơ bản  dx = x + C  cos xdx = sin x + C x+1 dx  x dx =  + 1 + C, (   1)  cos2 x = tan x + C  dx dx  x = ln x + C , x  0  sin 2 x = − cot x + C 46  e dx = e +C x−a x x dx 1  x − a 2a x + a + C 2 2 = ln ax dx 1 x  a dx = ln a + C, 0  a  1 x x 2 +a 2 = arctan + C a a  sin xdx = − cos x + C  dx = arcsin x + C = − arccos x + C 1− x 2 e ax dx = 1 ax a e +C ( a  0)  x +a dx 2 2 ( ) ...