Bài giảng Toán cao cấp: Chương 8 - ThS. Lê Trường Giang

Bài giảng "Toán cao cấp: Chương 8 - Phép tính vi phân hàm nhiều biến" trình bày những nội dung chính sau đây: Định nghĩa hàm hai biến; Giới hạn và liên tục; Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần; Đạo hàm riêng cấp cao và vi phân toàn phần cấp cao;... Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán cao cấp: Chương 8 - ThS. Lê Trường Giang1Chương 8. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾNNỘI DUNG: Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang 8.1. Định nghĩa hàm hai biến 8.2. Giới hạn và liên tục 8.3. Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần 8.4. Đạo hàm riêng cấp cao và Vi phân toàn phầncấp cao 8.5. Cực trị 2Chương 8. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN Phép tính vi phân là một phần của giải tích toán Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Gianghọc nghiên cứu đạo hàm và vi phân của hàm số và ứngdụng để nghiên cứu hàm số. Hình thành vào cuối thế kỷ17 như là một bộ môn toán học độc lập, phép tính viphân gắn liền với tên tuổi của Newton và Leibniz. Hai nhà toán học này đã xây dựng những luận đềcơ bản của phép tính vi phân và đã nêu rõ tính nghịchđảo của các phép lấy vi phân và lấy tích phân. Kể từ đó,phép tính vi phân phát triển trong mối quan hệ chặt chẽvới phép tính tích phân và cả hai hợp thành phần cơ bảncủa giải tích toán học. 3Chương 8. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN Sự sáng tạo ra các phép tính vi phân và tích phân Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giangmở ra một thời kì mới trong sự phát triển của toán học.Nó kéo theo sự xuất hiện hàng loạt các bộ môn toánhọc. Các phương pháp của giải tích toán học được ứngdụng trong nhiều nghành toán học. Phạm vi áp dụngtoán học trong khoa học tự nhiên và kĩ thuật được mởrộng nhiều. Phép tính vi phân hàm một biến đã được chúng tanghiên cứu ở chương 5 và chương 6. Trong chương nàychúng ta sẽ nghiên cứu phép tính vi phân hàm nhiềubiến. 4Chương 8. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN8.1. ĐỊNH NGHĨA HÀM HAI BIẾN Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang Cho tập D  ,D  0 , hàm số f : D  là một quy 2tắc cho tương ứng mỗi điểm  x, y   D với một z được gọi là hàm hai biến thực. Kí hiệu z  f  x, y Ví dụ 8.1. Ta có các hàm 2 biến sau: a) f  x, y   4x 3  3x 2 y  3xy 2  y 3 1  xy b) f  x, y   2 x  y2 c) f  x, y    x  y  sin 2 2 1 5 xyChương 8. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN Miền D ở trên được gọi là miền xác định của f  x, y  . Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường GiangNếu f  x, y  là một biểu thức giải tích theo  x, y  màkhông chỉ rõ miền xác định thì miền xác định của hàmf  x, y  là tập hợp những điểm  x, y  làm cho nó cónghĩa. 1  xyVí dụ 8.2. Tìm miền xác định của f  x, y   2 x  y2 6Chương 8. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN8.2. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang8.2.1. Giới hạnĐịnh nghĩa:Hàm số f  x, y  được gọi là có giới hạn L  khi x, y    x 0 , y0 , nếu   0,   0 :   x, y  thỏa 0  x  x 0    y  y0     f  x, y   L   2 2Kí hiệu: lim f  x, y   L  x,y  x 0 ,y0  7Chương 8. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾNVí dụ 8.3. Tính các giới hạn sau: Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Giang 1  xy a) lim  x,y  0,1 x 2  y 2 b) lim  x  y  sin 2 2 1  x,y  0,0  xy8.2.2. Liên tụcĐịnh nghĩa:Hàm số f : D  được gọi là liên tục tại điểm x 0 , y0   D nếu: lim f  x, y   f  x 0 , y 0  8  x,y  x 0 ,y0 Chương 8. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾNVí dụ 8.4. Toán Cao Cấp - ThS. Lê Trường Gianga) Cho hàm số  xy 2  2 khi  x, y    0,0  f  x, y    x  y 2  a khi  x, y    0,0  Tìm a để f  x, y  là hàm liên tục tại (0,0).b) Cho hàm số  x 2 y2  4 khi  x, y    0,0  f  x, y    x  y 4  a khi  x, y    0,0  ...