Bài giảng Toán cao cấp (Phần đại số tuyến tính): Chương 10 - Ngô Thái Hưng

Bài giảng "Toán cao cấp (Phần Đại số tuyến tính) - Chương 10: Không gian vectơ" trình bày các nội dung: Định nghĩa không gian vectơ, không gian con – hệ sinh, độc lập tuyến tính – phụ thuộc tuyến tính, cơ sở - số chiều của KGVT,... Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán cao cấp (Phần đại số tuyến tính): Chương 10 - Ngô Thái HưngTRƯỜNG ðẠI HỌC TÀI CHÍNH – MARKETING BỘ MÔN KHOA HỌC CƠ BẢN -------- TOÁN CAO CẤP Ngô Thái Hưng Năm học 2009 1ðẠI SỐ TUYẾN TÍNH (Linear Algebra) CHƯƠNG IX Không Gian Vectơ (Vector Space) GV: Ngô Thái Hưng 2 NỘI DUNG• ðỊNH NGHĨA KHÔNG GIAN VECTƠ• KHÔNG GIAN CON – HỆ SINH• ðỘC LẬP TUYẾN TÍNH – PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH• CƠ SỞ - SỐ CHIỀU CỦA KGVT• CƠ SỞ - SỐ CHIỀU CỦA KG CON SINH BỞI MỘT HỆ VECTƠ• TỌA ðỘ CỦA MỘT VECTƠ 3 §1. Các khái niệm cơ bản1. Không gian vectơ Cho tập hợp V ≠∅, trên V có hai phép toán : +:V×V → V i : ℝ×V → V ( u, v ) ֏ u + v ( k, u ) ֏ ku Phép toán trong Phép toán ngoài gọi là phép cộng gọi là phép nhân với số thực 4 §1. Các khái niệm cơ bản1. Không gian vectơ V ở trên ñược gọi là một không gian vectơ trên ℜ, ký hiệu nếu hai phép toán trên V thỏa các tính chất: ( V, +,i ) i. u+v = v+u v. h(k.u) = (h.k)u ii. (u+v)+w = u+(v+w) vi. h(u+v) = h.u + h.v iii. ∃! 0 ∈ V : u+0 = u vii. (h+k)u = h.u + k.u iv. ∃ −u ∈ V : u+(−u) = 0 viii. 1.u = u 5 0 ñược gọi là phần tử trung hòa của phép cộng. §1. Các khái niệm cơ bản1. Không gian vectơ Ví dụ 1  a b   V = M2 ( ℝ ) =   / a, b, c, d ∈ ℝ   c d   V có hai phép toán: Cộng hai ma trận Nhân ma trận với một số thực ⇒ V là một không gian vectơ 6 §1. Các khái niệm cơ bản1. Không gian vectơ Ví dụ 2 Xét ℝ 3 = {( x, y, z) / x, y, z ∈ ℝ} , với hai phép toán: ( x1 , x2 , x3 ) + ( y1 , y2 , y3 ) = ( x1 + y1 , x2 + y 2 , x3 + y3 ) k ( x1 , x2 , x3 ) = ( kx1 , kx2 , kx3 ) ⇒ R3 là một không gian vectơ ⇒ Rn là một không gian vectơ 7 §1. Các khái niệm cơ bản2. Tổ hợp tuyến tính Cho ( V, +,i ) là một không gian vectơ. Với u1, u2, …, un ∈ V và k1, k2, …, kn ∈ ℜ, ta gọi k1u1 + k2u2 + … + knun là một tổ hợp tuyến tính các vectơ u1, u2, …, un Nếu u ∈ V và u = k1u1 + k2u2 + … + knun , u ñược gọi là biểu thị tuyến tính qua các vectơ u1, u2, …, un Nhận xét : một tổ hợp tuyến tính các vectơ trong V thì 8 cũng thuộc V §1. Các khái niệm cơ bản2. Tổ hợp tuyến tính Ví dụ Cho V = ℜ3, u1=(1,1,0), u2=(0,1,1), u3=(1,0,1) ∈ V Với k1, k2, k3 ∈ ℜ, ta có các tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3 là : k 1 u1 + k 2 u 2 + k 3 u 3 = ( k 1 + k 3 , k 1 + k 2 , k 2 + k 3 ) ∈ ℝ 9 §1. Các khái niệm cơ bản3. Không gian vectơ con Cho V là một không gian vectơ, W là một tập con khác rỗng của V. Nếu ∀ u, v ∈ W, k ∈ ℜ, ta có u+v, k.u ∈ W Thì ta nói W là một không gian vectơ con của V (gọi tắt là không gian con), ký hiệu W ≤ V 10 §1. Các khái niệm cơ bản3. Không gian vectơ con Ví dụ Cho V = ℜ2 Xét W1={(x,0) | x ∈ ℜ}, nhận thấy rằng W1≠∅ và W1 ≤ V. Xét W2={(m,2m) | m ∈ ℜ}, nhận thấy rằng W2≠∅ và W2 ≤ V. 11 §1. Các khái niệm cơ bản4. Không gian sinh bởi tập hợp Cho V là một không gian vectơ, S = {u1, u2, …, un} ⊂ V, W là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính các vectơ trong S ⇒ W ≤ V. Ta nói W sinh bởi S hay S sinh ra W. Ký hiệu W = = < u1, u2, …, un > hay W = SpanS. 12 §1. Các khái niệm cơ bản4. Không gian sinh bởi tập hợp Ví dụ Xét ℜ3 và W ≤ ℜ3, với W = {( m + n, m − n, n ) m, n ∈ ℝ} = {( m, m, 0 ) + ( n, −n, n ) m, n ∈ ℝ} = {m (1,1, 0 ) + n (1, −1,1) m, n ∈ ℝ} Vậy W= (1,1, 0) , (1, −1,1) 13 §1. Các khái niệm cơ bản4. Không gian sinh bởi tập hợp Hệ quả: Tập hợp tất cả các nghiệm của một HPT thuần nhất theo n ẩn là một không gian vectơ con của ℜn. Ví dụ  x1 + 2x 2 + 4x 3 − 3x 4 = 0  3x + 5x 2 + 6x 3 − 4x 4 = 0 ( I ) =  1 ...