Bài giảng Toán học sơ cấp: Phần 3 - TS. Nguyễn Viết Đông

Bài giảng Toán học sơ cấp: Phần 3 sau khi học xong chương này người học sinh viên nắm được các phần lý thuyết chung: Tập hợp, ánh xạ và phép đếm. Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán học sơ cấp: Phần 3 - TS. Nguyễn Viết ĐôngTài liệu tham khảo• [1]GS.TS Nguyễn Hữu Anh, Toán rời rạc,NXB Giáo dục• [2]TS. Trần Ngọc Hội, Toán rời rạcPhần III.Tập hợp, ánh xạ, phép đếmBiên soạn:TS.Nguyễn Viết Đông1Tập hợp2Tập hợp1.Các phép toán trên tập hợp.Phép hợp: xA  B  xA  xB.Phép giao : xA  B  xA  xB.Hiệu : xA \ B  xA  xB.Hiệu đối xứngxA  B  x A  B  x A  B .Phần bù :Cho AE thìTích Descartes:A B = {(a,b) aA,b B}A1A2…An ={(a1,a2,…,an) aiA i , i = 1,2,…,n}A E \ A341Tập hợpTập hợp2.Tính chất của phép toán trên tập hợp2.1) Tính luỹ đẳng:A  A = A và A  A = A2.2) Tính giao hoán:A  B = B  A và A  B = B  A.2.3) Tính kết hợp:(A  B)  C = A  (B  C)và (A  B)  C = A  (B  C) A i  (xi )iI i  I, xi  A i iI56Tập hợpTập hợp2.4) Tính phân phối:A  (B  C) = (A  B)  (A  C)và A  (B  C) = (A  B)  (A  C)2.5) Công thức De Morgan:Mở rộngAiIiAiIA B  A B , A B  A Bi {x i  I, x  A i } {x i  I, x  A i } AiiISuy ra:A \ (B  C) = (A \ B)  (A \ C)và A \ (B  C) = (A \ B)  (A \ C). AiiI Ai   AiiI7iI82Tập hợpÁnh xạ1.Định nghĩa và ký hiệu1.1. Định nghĩaCho hai tập hơp X, Y  . Một ánh xạ f từ X vào Y là quitắc đặt tương ứng mỗi phần tử x của X với môt phần tửduy nhất y của Y mà ta ký hiệu là f(x) và gọi là ảnh củax qua ánh xạ f. Ta viêt:f:XYx  f(x)3.Số phần tử của tập hợp hữu hạn.Cho A là tập hợp hữu hạn.Số phần tử của tập Aký hiệu là A.Ta có:1) AB = A+ B - AB .2) AB = A B3) P (A) = 2 A ,P (A) là tập các tập con của A9Ánh xạ10Ánh xạf(A) = {f(x)  x  A}= {y  Y  x  A, y = f(x)}y  Y, y  f(A)  x  A, y = f(x);y  Y, y  f(A)  x  A, y  f(x).f–1(B) = {x  X  f(x)  B}x  X, x  f–1(B)  f(x)  B;x  X, x  f–1(B)  f(x)  B.1.2. Ánh xạ bằng nhauHai ánh xạ f và g từ X vào Y được gọi là bằngnhau nếux  X, f(x) = g(x).1.3. Ảnh và ảnh ngượcCho ánh xạ f từ X vào Y và A  X, B  Y. Tađịnh nghĩa:11123Ánh xạÁnh xạTa thường ký hiệu f(X) bởi Imf và f-1({y}) bởif-1(y). Imf được gọi là ảnh của ánh xạ f.Tính chất:f(A1  A2) = f(A1)  f(A2);f(A1  A2)  f(A1)  f(A2);f(A1 \ A2)  f(A1) \ f(A2);f–1(B1  B2) = f–1(B1)  f–1(B2);f–1(B1  B2) = f–1(B1)  f–1(B2);f–1(B1 \ B2) = f–1(B1) \ f–1(B2).2. PHÂN LOẠI ÁNH XẠ2.1. Đơn ánhTa nói f : X  Y là một đơn ánh nếu hai phần tửkhác nhau bất kỳ của X đều có ảnh khác nhau,nghĩa là:x, x  X, x  x  f(x)  f(x )13Ánh xạ14Ánh xạ• f : X  Y là một đơn ánh (x, x  X, f(x) = f(x)  x = x). (y  Y, f–1(y) có nhiều nhất một phần tử). (y  Y, phương trình f(x) = y (y được xem nhưtham số) có nhiều nhất một nghiệm x  X.• Suy ra:f : X  Y không là một đơn ánh(x, x  X, x  x và f(x) = f(x)).(y  Y, phương trình f(x) = y (y được xem nhưtham số) có ít nhất hai nghiệm x  X2.2. Toàn ánh:Ta nói f : X  Y là một toàn ánh nếu Imf = Y.Những tính chất sau được suy trực tiếp từ định nghĩa.f : X  Y là môt toàn ánh (y  Y, x  X, y = f(x)) (y  Y, f–1(y)  ); y  Y, phương trình f(x) = y (y được xem như thamsố) có nghiệm x  X.Suy ra:f : X  Y không là một toàn ánh (y  Y, x  X, y  f(x)); (y  Y, f–1(y)  );15164Ánh xạÁnh xạ2.3. Song ánh và ánh xạ ngược:Ta nói f : X  Y là một song ánh nếu f vừa là đơn ánhvừa là toàn ánh.Tính chất.f : X  Y là một song ánh (y  Y, !x  X, y = f(x)); (y  Y, f–1(y) có đúng một phần tử); y  Y, phương trình f(x) = y (y được xem nhưtham số) có duy nhất một nghiệm x  X.• Xét f : X  Y là một song ánh. Khi đó, theotính chất trên, với mọi y  Y, tồn tại duy nhấtmột phần tử x  X thỏa f(x) = y. Do đó tươngứngy x là một ánh xạ từ Y vào X. Ta gọiđây là ánh xạ ngược của f và ký hiệu f–1. Nhưvậy:f–1 : Y  Xy f–1(y) = x với f(x) = y.17Ánh xạ18Ánh xạ3. TÍCH (HỢP THÀNH)CỦACÁC ÁNH XẠ3.1. Định nghĩa: Cho hai ánh xạf : X  Y và g : Y  Ztrong đó Y  Y. Ánh xạ tích h của f và g là ánh xạ từ Xvào Z xác định bởi:h:XZx  h(x) = g(f(x))• Ta viết:h=gof:XYZx f(x)  h(x) = g(f(x))Cho P(x) = x2 – 4x + 5 và các ánh xạf : R  R định bởi f(x) = P(x);g : [2, +)  R định bởi g(x) = P(x);h : R  [1, +) định bởi h(x) = P(x);k : [2, +)  [1, +) định bởi k(x) = P(x);Hãy xét xem ánh xạ nào là đơn ánh, toàn ánh,song ánh và tìm ánh xạ ngược trong trườnghợp là song ánh.19205