Bài giảng Vi tích phân hàm số một biến: Chương 4 - Vũ Đỗ Huy Cường

Bài giảng Vi tích phân hàm số một biến - Chương 4: Tích phân và các ứng dụng, cung cấp những kiến thức như Nguyên hàm của hàm số; tích phân xác định; phương pháp tích phân từng phần; tích phân suy rộng; ứng dụng của tích phân. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Vi tích phân hàm số một biến: Chương 4 - Vũ Đỗ Huy CườngGiảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Chương 4 Tích phân và các ứng dụng Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 82 / 148Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 4.1. Nguyên hàm của hàm số 4.1.1. Nguyên hàm và tích phân bất định Tập hợp tất cả nguyên hàm của hàm số f được gọi là tích phân bất định của f theo biến x, và được kí hiệu bởi f (x)dx. (24) Các quy tắc của tích phân bất định: (i). f (x)dx = f (x). (ii). d f (x)dx = f (x). (iii). df = f (x) + c. (iv). cf (x)dx = c f (x)dx. (v). f1 (x) ± f2 (x) dx = f1 (x)dx ± f2 (x)dx. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 83 / 148Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 4.1.1. Nguyên hàm và tích phân bất định x n+1 1 (i). x n dx = + C. (ii). dx = ln |x| + C. n+1 x dx 1 x dx 1 |a + x| (iii). = arctan . (iv). = ln + C. a2 + x 2 a a a2 − x 2 2a |a − x| dx x dx (v). √ = arcsin + C. (vi). √ = ln |x + x 2 ± a2 | + C. a2 − x 2 a x 2 ± a2 Tích phân bất định của một số hàm cơ bản (vii). u sin udx = − cos u + C. (viii). u cos udx = sin u + C. (ix). u tan udx = − ln | cos u| + C. (x). u cot udx = ln | sin u| + C. 1 x 1 x π (xi). dx = ln | tan | + C. (xii). dx = ln | tan + |+C sin x 2 cos x 2 4 au (xiii). u eu dx = eu + C. (xiv). u au dx = + C. ln a x(ln x − 1) (xv). ln xdx = x(ln x − 1) + C. (xvi). loga xdx = + C. ln a Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 84 / 148Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 4.1.1. Nguyên hàm và tích phân bất định Bài tập: Tìm các tích phân bất định sau √ 2 (1 + x)2 1) (x + 1) dx. 2) √3 dx. x x2 x 4 − 2x 2 + 10 3) dx. 4) dx. x2 +4 5 − x2 √ √ 1 x2 − 4 − x2 + 4 5) (ln x + − ex )dx. 6) √ dx. x x 4 − 16 (sin x + cos x)2 √ 1 7) dx. 8) ( cos x + √ )2 dx. sin x cos x Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 85 / 148Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 4.1.2. Phương pháp thế Nếu u = g(x) là hàm khả vi mà tập giá trị của nó là tập I và f liên tục trên I thì f (g(x))g (x)dx = f (u)du. (25) 2x + 1 Ví dụ: Tìm dx. x2 +x −3 Đặt u = x 2 + x − 3 thì du = (2x + 1)dx. Chúng ta thu được 2x + 1 du dx = x2 +x −3 u = ln |u| + C = ln |x 2 + x − 3| + C. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 86 / 148Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 4.1.2. Phương pháp thế Nếu tồn tại x = ϕ(t) sao cho f (x)dx = f (ϕ(t))ϕ ...