Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 2.1 - Biến ngẫu nhiên

Bài giảng "Xác suất thống kê: Chương 2.1 - Biến ngẫu nhiên" trình bày các nội dung chính sau đây: Khái niệm và phân loại biến ngẫu nhiên; Hàm của một biến ngẫu nhiên; Bài tập ví dụ. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 2.1 - Biến ngẫu nhiên VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC School of Applied Mathematics and Informatics Chương 2 BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG(1) VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI SAMI.HUST – 2023(1) Phòng 201.BIS–D3.5Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 2 – MỤC 2.1 1/15 SAMI.HUST – 2023 1 / 15GIỚI THIỆU CHƯƠNG 2Chương này nghiên cứu về biến ngẫu nhiên. Nội dung bao gồm: Khái niệm và phân loại biến ngẫu nhiên. Phân tích phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên thông qua hàm xác suất hoặc bảng phân phối, hàm phân phối, hàm mật độ xác suất. Trình bày một số giá trị đặc trưng của biến ngẫu nhiên như kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn, mốt, trung vị. Giới thiệu một số phân phối rời rạc thông dụng: phân phối đều, phân phối Bernoulli, phân phối nhị thức, phân phối Poisson; và một số phân phối liên tục thông dụng: phân phối đều, phân phối mũ, phân phối chuẩn, phân phối Student, phân phối khi-bình phương, phân phối Fisher. Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 2 – MỤC 2.1 2/15 SAMI.HUST – 2023 2 / 152.1. BIẾN NGẪU NHIÊN1 2.1.1 Khái niệm và phân loại biến ngẫu nhiên2 2.1.2 Hàm của một biến ngẫu nhiên3 Bài tập Mục 2.1 Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 2 – MỤC 2.1 3/15 SAMI.HUST – 2023 3 / 15Khái niệm và phân loại biến ngẫu nhiênKhái niệm 1Giả sử ta có một phép thử với không gian mẫu là S. Một biến ngẫu nhiên là một hàm số của các kết cụcX : S → R cho tương ứng ω ∈ S với X(ω) ∈ R. Ký hiệu SX là tập các giá trị của X. Nếu SX là tập hữu hạn hoặc vô hạn đếm được thì X là biến ngẫu nhiên rời rạc. Nếu SX là tập vô hạn không đếm được thì X là biến ngẫu nhiên liên tục. Trong khuôn khổ của chương trình ta chỉ nghiên cứu hai loại biến ngẫu nhiên hoặc là biến ngẫu nhiên rời rạchoặc là biến ngẫu nhiên liên tục và không nghiên cứu biến ngẫu nhiên vừa rời rạc vừa liên tục (còn gọi là biếnngẫu nhiên hỗn hợp). Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 2 – MỤC 2.1 4/15 SAMI.HUST – 2023 4 / 15Khái niệm và phân loại biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu nhiên vì trước khi tiến hành phép thử ngẫu nhiên ta chưa có thể nói một cách chắn chắc nó sẽ nhận một giá trị bằng bao nhiêu. Nói cách khác, việc biến ngẫu nhiên X nhận một giá trị nào đó (X = x1 ), (X = x2 ), . . . , (X = xn ) về thực chất là các sự kiện. Nếu biến ngẫu nhiên X chỉ nhận các giá trị x1 , x2 , . . . , xn trong một phép thử thì (X = x1 ), (X = x2 ), . . . , (X = xn ) tạo nên một hệ đầy đủ các sự kiện. Khái niệm biến ngẫu nhiên xác định như trên được gọi là biến ngẫu nhiên một chiều và SX ⊂ R. Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 2 – MỤC 2.1 5/15 SAMI.HUST – 2023 5 / 15Khái niệm và phân loại biến ngẫu nhiênVí dụ 1Tung một đồng xu cân đối đồng chất hai lần. Không gian mẫu là S = {SS, SN, N S, N N }. Gọi X là số lầnxuất hiện mặt ngửa trong tổng số hai lần tung. Khi đó, X là một hàm từ S vào SX = {0, 1, 2} cho ương ứng SS với 0; SN với 1; N S với 1; N N với 2.X là biến ngẫu nhiên rời rạc, SX là tập hữu hạn. Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 2 – MỤC 2.1 6/15 SAMI.HUST – 2023 6 / 15Khái niệm và phân loại biến ngẫu nhiênVí dụ 2Tung một đồng xu cân đối đồng chất cho đến khi xuất hiện mặt ngửa thì dừng lại. Không gian mẫu làS = {N, SN, SSN, SSSN, . . . }. Gọi Y là số lần tung. Khi đó, SY = {1, 2, 3, . . . } và Y là một hàm từ S vàoSY cho tương ứng N với 1; SN với 2; SSN với 3; SSSN với 4; ....Y là biến ngẫu nhiên rời rạc, SY là tập vô hạn đếm được phần tử. Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 2 – MỤC 2.1 7/15 SAMI.HUST – 2023 7 / 15Khái niệm và phân loại biến ngẫu nhiênVí dụ 3Một xạ thủ bắn một viên đạn vào bia có tâm là O(0; 0), bán kính 20 centimét và giả sử viên đạn trúng bia.Không gian mẫu là S = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 ≤ 202 }. Gọi Z là khoảng cách từ tâm bia tới điểm bia trúngđạn, thì SZ = [0; 20 (cm)] và Z là hàm số từ S vào SZ cho tương ứng (x, y) ∈ S với x2 + y 2 ∈ SZ . Z là biến ngẫu nhiên liên tục; SZ là tập hợp vô hạn không đếm được. Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 2 – MỤC 2.1 8/15 SAMI.HUST – 2023 8 / 152.1. BIẾN NGẪU NHIÊN1 2.1.1 Khái niệm và phân loại biến ngẫu nhiên2 2.1.2 Hàm của một biến ngẫu nhiên3 Bài tập Mục 2.1 Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 2 – MỤC 2.1 9/15 SAMI.HUST – 2023 9 / 15Hàm của một biến ngẫu nhiênKhái niệm 2Cho X là một biến ngẫu nhiên và g(x) là một hàm số thực. Đặt Y = g(X) := g(x) x=X . Biến ngẫu nhiêng(X) như vậy được gọi là hàm của biến ngẫu nhiên X. Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc thì g(X) cũng là biến ngẫu nhiên rời rạc. Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục và g(.) là một hàm liên tục thì g(X) là biến ngẫu nhiên liên tục. Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 2 – MỤC 2.1 10/15 SAMI.HUST – 2023 10 / 15Hàm của một biến ngẫu nhiênVí dụ 4Một công ty điện thoại tính cước phí cho một bản fax như sau: 10 nghìn đồng cho trang thứ nhất, 9 nghìnđồng cho trang thứ hai, . . . , 6 nghìn đồng cho trang thứ năm. Những bản fax từ 6 đ ...