Bài tập ánh xạ liên tục

Giải tích cơ sở - Chuyên ngành: Giải tích, PPDH Toán - Phần 1: Không gian Metric - Bài tập Ánh xạ liên tục
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài tập ánh xạ liên tục GI I TÍCH (CƠ S ) Tài li u ôn thi cao h c năm 2005 Phiên b n đã ch nh s a PGS TS Nguy n Bích Huy Ngày 26 tháng 1 năm 2005 §5. Bài ôn t pBài 1: Trên X = C[0,1] ta xét metric h i t đ u. Cho t p h p A = {x ∈ X : x(1) = 1, 0 ≤ x(t) ≤ 1 x2 (t) dt.1 ∀t ∈ [0, 1]} và ánh x f : X → R, f (x) = 0 1. Ch ng minh inf f (A) = 0 nhưng không t n t i x ∈ A đ f (x) = 0. 2. Ch ng minh A không là t p compact. Gi i 1. • Đ t α = inf f (A). Ta có f (x) ≥ 0 ∀x ∈ A nên α ≥ 0. V i xn (t) = tn , ta có xn ∈ A 1 1 t2n dt = α ≤ f (xn ) = −→ 0 (n → ∞) 2n + 1 0 Do đó α = 0. • N u f (x) = 0, ta có: 1 x2 (t) dt = 0, x2 (t) ≥ 0, x2 (t) liên t c trên [0, 1] 0 =⇒ x(t) = 0 ∀t ∈ [0, 1] =⇒ x ∈ A. / 2. Ta có: f liên t c trên X, nh n giá tr trong R (xem bài t p §3) ∀x ∈ A f (x) = inf f (A) =⇒ A không compact (xem lý thuy t §4). 1 Bài 2: Cho (X, d) là không gian metric compact và ánh x X → X th a mãn ∀x, y ∈ X, x = y. d(f (x), f (y )) < d(x, y ) (1)Ch ng minh t n t i duy nh t đi m x0 ∈ X th a mãn x0 = f (x0 ) (ta nói x0 là đi m b t đ ng c aánh x f ). Gi i Ta xét hàm g : X → R, g (x) = d(f (x), x), x ∈ X . Ta ch c n ch ng minh t n t i duy nh tx0 ∈ X sao cho g (x0 ) = 0. Áp d ng b t đ ng th c t giác và đi u ki n (1), ta có |g (x) − g (y )| = |d(f (x), x) − d(f (y ), y )| ≤ 2d(x, y ) nên g liên t c. T đây và tính compact c a X ta có: ∃x0 ∈ X : g (x0 ) = inf g (X ) (2) Ta s ch ng minh g (x0 ) = 0. Gi s g (x0 ) = 0; ta đ t x1 = f (x0 ) thì x1 = x0 , do đó: d(f (x1 ), f (x0 )) < d(x1 , x0 ) ⇒ d(f (x1 ), x1 ) < d(f (x0 ), x0 ) ⇒ g (x1 ) < g (x0 ), m u thu n v i (2). V y g (x0 ) = 0 hay f (x0 ) = x0 . Đ ch ng minh s duy nh t ta gi s trái l i, có x = x0 và x = f (x ). Khi đó: d(x , x0 ) = d(f (x ), f (x0 )) < d(x , x0 ) Ta g p mâu thu n. Bài 3: Cho các không gian metric (X, d), (Y, ρ) và ánh x f : X → Y . Trên X × Y ta xét metric (x, y ), (x , y ) ∈ X × Y. d1 ((x, y ), (x , y )) = d(x, x ) + ρ(y, y ), và xét t p h p G = {(x, f (x)) : x ∈ X }. 1. Gi s f liên t c, ch ng minh G là t p đóng. 2. Gi s G là t p đóng và (Y, ρ) là không gian compact, ch ng minh f liên t c. Gi i 1. Xét tùy ý dãy {(xn , f (xn ))} ⊂ G mà lim(xn , f (xn )) = (a, b) (1) Ta c n ch ng minh (a, b) ∈ G hay b = f (a).T (1), ta có lim xn = a (2), lim f (xn ) = b (3). 2 T (2) và s liên t c c a f ta có lim f (xn ) = f (a); k t h p v i (3) ta có b = f (a) (đpcm). 2. Xét tùy ý t p đóng F ⊂ Y , ta c n ch ng minh f −1 (F ) là t p đóng trong X : Đ ch ng minh f −1 (F ) đóng, ta xét tùy ý dãy {xn } ⊂ f −1 (F ) mà lim xn = a và c n ch ng ta ∈ f −1 (F ). Ta có: f (xn ) ∈ F, n ∈ N ∗ F là t p compact (do F đóng, Y compact)=⇒ ∃{xnk } : lim f (xnk ) = b ∈ F . k→∞ Khi đó: lim (xnk , f (xnk )) = (a, b), (xnk , f (xnk )) ∈ G, G đóng k→∞=⇒ (a, b) ∈ G hay b = f (a). V y f (a) ∈ F hay a ∈ f −1 (F ) (đpcm). Bài 4: Cho không giam metric compact (X,d) và các ánh x liên t c fn : X → R (n ∈ N ∗ ) th a mãncác đi u ki n sau: f1 (x) ≥ f2 (x) ≥ . . . , ∀x ∈ X (∗) lim fn (x) = 0 n→∞ Ch ng minh dãy {fn } h i t đ u trên X v không, nghĩa là: ...