Bài tập Khảo sát hàm số - Trần Sĩ Hùng

Tài liệu tham khảo bài tập Khảo sát hàm số của thầy Trần Sĩ Hùng giúp các bạn học sinh có thêm tư liệu ôn tập, luyện tập để nắm vững được những kiến thức cơ bản về môn Toán.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài tập Khảo sát hàm số - Trần Sĩ Hùng www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam TRẦN SĨ TÙNG ---- ›š & ›š ----TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG Năm 2012 www.MATHVN.comTrần Sĩ Tùng www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Khảo sát hàm số KSHS 01: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐA. Kiến thức cơ bản Giả sử hàm số y = f ( x ) có tập xác định D. · Hàm số f đồng biến trên D Û y¢ ³ 0, x Î D và y¢ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc D. · Hàm số f nghịch biến trên D Û y¢ £ 0, x Î D và y¢ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc D. · Nếu y = ax 2 + bx + c (a ¹ 0) thì: + y ³ 0, x Î R Û í a > 0 + y £ 0, x Î R Û í a < 0 ì ì îD £ 0 îD £ 0 · Định lí về dấu của tam thức bậc hai g( x ) = ax 2 + bx + c (a ¹ 0) : + Nếu D < 0 thì g( x ) luôn cùng dấu với a. b + Nếu D = 0 thì g( x ) luôn cùng dấu với a (trừ x = - ) 2a + Nếu D > 0 thì g( x ) có hai nghiệm x1, x2 và trong khoảng hai nghiệm thì g( x ) khác dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g( x ) cùng dấu với a. · So sánh các nghiệm x1, x2 của tam thức bậc hai g( x ) = ax 2 + bx + c với số 0: ìD ³ 0 ìD ³ 0 ï ï + x1 £ x2 < 0 Û í P > 0 + 0 < x1 £ x2 Û í P > 0 + x1 < 0 < x2 Û P < 0 ïS < 0 î ïS > 0 î · g( x ) £ m, x Î (a; b) Û max g( x ) £ m ; g( x ) ³ m, x Î (a; b) Û min g( x ) ³ m ( a;b ) ( a;b )B. Một số dạng câu hỏi thường gặp 1. Tìm điều kiện để hàm số y = f ( x ) đơn điệu trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định). · Hàm số f đồng biến trên D Û y¢ ³ 0, x Î D và y¢ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc D. · Hàm số f nghịch biến trên D Û y¢ £ 0, x Î D và y¢ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc D. · Nếu y = ax 2 + bx + c (a ¹ 0) thì: + y ³ 0, x Î R Û í a > 0 + y £ 0, x Î R Û í a < 0 ì ì îD £ 0 îD £ 0 2. Tìm điều kiện để hàm số y = f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d đơn điệu trên khoảng (a ; b ) . Ta có: y¢ = f ¢( x ) = 3ax 2 + 2bx + c . a) Hàm số f đồng biến trên (a ; b ) Û y¢ ³ 0, x Î (a ; b ) và y¢ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc (a ; b ) . Trường hợp 1: · Nếu bất phương trình f ¢( x ) ³ 0 Û h(m) ³ g( x ) (*) thì f đồng biến trên (a ; b ) Û h(m) ³ max g( x ) (a ; b ) Trang 1 www.MATHVN.comKhảo sát hàm số www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Trần Sĩ Tùng · Nếu bất phương trình f ¢( x ) ³ 0 Û h(m) £ g( x ) (**) thì f đồng biến trên (a ; b ) Û h(m) £ min g( x ) (a ; b ) Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f ¢( x ) ³ 0 không đưa được về dạng (*) thì đặt t = x - a . Khi đó ta có: y¢ = g(t ) = 3at 2 + 2(3aa + b)t + 3aa 2 + 2ba + c . ìa > 0 ìa > 0 ïD > 0 ï – Hàm số f đồng biến trên khoảng (-¥; a) Û g(t ) ³ 0, t < 0 Û í Ú í îD £ 0 ïS > 0 ïP ³ 0 î ìa > 0 ìa > 0 ïD > 0 ï – Hàm số f đồng biến trên khoảng (a; +¥) Û g(t ) ³ 0, t > 0 Û í Ú í îD £ 0 ïS < 0 ïP ³ 0 ...