Bài tập xác suất thống kê 1

Tài liệu tham khảo và Hướng dẫn ôn tập. Bởi vì một số kiến thức trước đây của xác suất và thống kê cơ bản được giả sử trong sách này, việc ôn lại này được thiết kế để phục vụ chỉ như là một sự hướng dẫn lại các...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài tập xác suất thống kê 1 Bài 1. Cho đại lượng ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất như sau:  0 khi x ∉ [ 0;4] f ( x) =  3 a ( x + 2 x + 1) khi x ∈ [ 0;4] a) Tìm hệ số a b) Tính P ( 1 < X < 3) c) Quan sát đại lượng ngẫu nhiên X10 lần. Tìm xác suất để trong 10 lần quan sát, có 4 lần X nhận giá trị trong khoảng 1;3 ( ) d) Tính E(X), D(X) a) Áp dụng tính chất hàm mật độ, ta có +∞ 4 3 1 1= ∫ f ( x) dx = ∫ a ( x + 2 x + 1) dx = 84 a ⇒ a = 84 −∞ 0 b) Áp dụng định nghĩa của hàm mật độ, ta có: 1 3 ( 5 ) 3 3 P(1 < X < 3) = ∫ f ( x) dx = ∫ x + 2 x + 1 dx = 1 1 84 14 c) Gọi A là biến cố X nhận giá trị trong khoảng ( 1;3) 5 9 p = P( A) = P( X ∈ (1;3) ) = P(1 < X < 3) = ⇒ q = 1 − p = 14 14 Coi 10 lần quan sát đại lượng ngẫu nhiên X như là dãy 10 phép thử Becnuli, trong đó trong mỗi lần thử, biến cố A xảy ra với xác suất 5 p= . 14 Gọi Bk là biến cố trong 10 lần quan sát đại lượng ngẫu nhiên X , có 4 lần X nhận giá trị trong khoảng (1;3) 4 6 10! 5 9 Tính P( B4 ) = C10 . p 4 . q10 − 4 4 = .  .  4!(10 − 4)!  14   14  =0,24114264040 379016 +∞ 4 1 958 d) Tính E ( X ) = ∫ x. f ( x) dx = ∫ x. . ( x3 + 2 x + 1) dx = −∞ 0 84 315 +∞ 2 4 1  958  650 D( X ) = ∫ x 2 f ( x)dx − ( E ( X )) 2 = ∫ x 2 . . ( x3 + 2 x + 1) dx −   = −∞ 0 84  315  992 Bài 2.Biết trọng lượng các bao gạo trong kho là đại lượng ngẫu nhiên có phân bố chuẩn với độ lệch chuẩn bằng 0,8(kg). Cân thử một số bao gạo trong kho, ta thu được bảng số liệu sau: Trọng (48,5;49) (49;49,5) (49,5;50) (50;50,5) (50,5;51) lượng Bao gạo (kg) Số bao 5 12 19 10 6 a) Với độ tin cậy 90%, cho một ước lượng khoảng về trọng lượng các bao gạo trong kho. b) Biết trọng lượng bao gạo theo quy định là 50(kg). Có ý kiến cho rằng các bao gạo bị đóng thiếu. Với mức ý nghĩa 2%, có thể trả lời ra sao cho nghi ngờ này. Gọi X là trọng lượng bao gạo trong kho. X có phân bố chuẩn N (a;σ 2 ) xi 48,75 49,25 49,75 50,25 50,75 ni 5 12 19 10 6 n = 52 x = 49,75 a) Độ tin cậyγ = 0,9 1+ γ Φ ( z0 ) = = 0,95 ⇒ z0 = 1,64485362 7 2 Độ lệch chuẩn σ = 0,8 Với mẫu cụ thể trên, với độ tin cậy 90%, ước lượng khoảng cho trọng lượng trung bình của các bao gạo trong kho sẽ là:  σ σ  x − z0 ; x + z0  = ( 49,5675198 7406827;49 ,932480125 93173 )  n n  b) a0 = 50 Tính giá trị quan sát của tiêu chuẩn kiểm định x − a0 zqs = n = -2,2534695 471649933 σ Kiểm định:  H : a = 50   K : a < 50 Mức ý nghĩa α = 0,02 Φ ( z0 ) = 1 − α = 0,98 ⇒ z0 = 2,05374891 1 Miền bác bỏ giả thuyết Wα = { z ∈ R : z < − z0 = −2,05374891 1} zqs < − z0 ⇒ zqs ∈ Wα Với mẫu cụ thể trên, với mức ý nghĩa 2%, nghi ngờ trên là có cơ sở. Bài 3. Biết chiều dài của một loại sản phẩm do nhà máy A là đại lượng ngẫu nhiên có phân bố chuẩn. Đo thử chiều dài của một số sản phẩm ta thu được bảng số liệu như sau: Chiều dài (30;32) (32;34) (34;36) (36;38) (38;40) Sản phẩm (cm) Số sản phẩm 4 10 13 11 6 a) Với độ tin cậy 92%, cho một ước lượng khoảng về chiều dài của sản phẩm b) Với độ tin cậy 94%, cho một ước lượng khoảng về phương sai của chiều dài sản phẩm c) Biết chiều dài theo quy định của sản phẩm là 35. Với mức ý nghĩa 3%, kiểm định ý kiến cho rằng chiều dài của sản phẩm nhà máy vượt quá quy định Gọi X là chiều dài của sản phẩm. X có phân bố chuẩn N (a;σ 2 ) xi 31 33 35 37 39 ni 4 10 13 11 6 n = 44 77 ...