Bài tập xác suất thống kê: Phần 1

Phần 1 Tài liệu Hướng dẫn giải bài tập xác suất thống kê gồm nội dung các chương: Sự kiện ngẫu nhiên và các phép tính xác suất, biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suất, biến ngẫu nhiên nhiều chiều.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài tập xác suất thống kê: Phần 1 T Ố N G Đ ÌN H Q U Ỳ HƯỚNG DẨN GIẢI BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊNHÀ XUẤT BẢN BÁCH KHOA - HÀ NỘI C hu oníi I SỤ K I Ệ N N ( Ỉ Ẫ I J N H I Ê N VÀ C yu: P H É P TÍN H XÁC SUẮT §1, 1. S ự K I Ệ N N G Â U N H I Ê N VÀ CÁC PHÉP T OÁN TRÊN S ự K I Ệ N1.1.1. T ó m tãl lý ^ th u V yết 1. S ư k i ệ n là k h á i I i i ẹ m n s u v é n lliLiý k h ỏ n e t h ể đ ị n h n g h ĩ a .S i í k i ệ n níịủn nliiéiì ( h a v h i ế n c ó i h e o m ộ t s ố tài l i ệ u ) c ó t h ểhiổii như là một hiên tư ợ n s nào dó có thể xảy ra hoục kh ô n gthè’ Káy ra khi có một bộ diều kiện xác dịnli. Ta sẽ ký hiệu cácsư kiện bằiig các chữ cái iii hoa A. B, c ... Trong lớp các sự kiện nụẫu nhiên có hai sự kiện dặc biệt: vớimộl bọ điéu kiện xác định, nếu sự kiẹn liíc nào cũng xáy ra ta cósư kiện lất yêu (kv hiệu là U) và nếu kliông bao giờ xảy ra ta cósự kiện h ấ i kh ả (kv hiệu là ). N s ư ừ i la x á c d ị n h q u a n h ệ uiĩia c á c s ự k i ệ n n h ư sau: * Tổng: lổní> cua hai sự kiện là một sự kiện chí việc xảy raít nhất mộl Irong hai sự kiện trẽn, ký hiệu là A + B. Tíclr. licli c ủ a h a i s ự k i ệ n là m ộ l s ự k i ệ n c h i v i ẹ c x ả y r ađồng thòi cá hai sự kiện, ký hiệu là AB. Đối lập: hai sự kiện A và Ẵ dirợc gọi là dôi lập nếu luônchí xảy ra một ircMig hai sự kiện ấy. Từ dó dẻ + 4 =(/..4.4 = . 5 * X ung khắc: hai sự kiện / ầ B được gọi là xiíiìịỉ k h ắ c nếuchúng k h ô n g đ ồ n g thời xảy ra. tức là A B = V, * Kéo theo: sự kiện /4 kéo iheo sự kiện B. ký hiệu là ,4 ^ B.nếu xảy ra /4 thì xảy ra B. * Tương đương: hai sự kiện /i và B được gọi là Itíơiìí; cíicơììg,ký hiệu là /A = B, nếu B và B => A . Đ ể ý là hai phép toán tổng và lích có một số tính chất củ a cácphép cộng và phép nhân: (a) A + 13 = B + A A B = BA: ịh) {A + B) + c = A + (B + C); { ÁB ) C = A{BC) (c) A{B + C) = A B + AC. Ngoài ra có thể dễ dàng chứng minh: /l + A = /l; /lA = /l; Ẩ + ơ = ơ; AU = /ì; A + l/ = /i; /11- = M ột sự k iên là kêt quả trực tiêp c ủ a m ột bộ điều kiện xácđịnh và kh ô n g thể phân chia th àn h c á c sự kiện k hác được gọilà s ự kiện sơ cấp. Trong nhiều bài tập ta cần xác định số lượngcác sự kiện đồng khả nàng, dẫn đến cần sử dụng đến các kêt quádưới đây. 2. Giải tích kết hợp * Chính hợp; chỉnh lìựp chập k từ n phần tử là mộl nhóm cóthứ tự gồm k phần tử có ihứ tự lấy từ ìì phần tử đó. Đó chính làmộl nhóm gồm k phần tử khác nhau dược xếp theo một thứ lựnhấl dịnh. sỏ các chinh hợp như vậy ký hiệu là = /;(/; - -Ắ + l ) . * Chính hợp lặp: chỉnh hợp lặp c h ậ p k lừ n phần tử là mộinhóm có thứ tự gồm k phần tử và m ỗi phần tử có ihể lặp lại lấy6từ lì phần tứ đã cho. N h ư vậv đây là một n h ó m gồm k phần tửcó thể g iống nhau à được xếp iheo thử tự. Số chính hợp lặpnhư vậy ký hiệu là * Iloán v ị ; h o á ì ì v ị c ủ a II p h ầ n t ử l à m ộ t n h ó m g ồ m lì p h ầ ntử âv được sắp xếp th eo mộl thứ tự nào đó. Số các hoán vị n h ưvậy. ký hiệu là c h ín h là số các c hính hợp và ta cóp„=n * Tổ hợp: t ổ hợp chập Ấ: từ /; phần tử là một nhóm gồm kphần tử khác nhau được lấy từ n phần từ đã cho (không phân biệtthứ tự). Sô các tổ hợp ch ập k từ II ký hiệu là ^ ___ ^ ^ ìĩ{n -k)ĩ k ■1.1.2. Các bài giải mẫu Bài 1. Khi nào thì có đ ẳ n g thức A + B = AI Giíii: Đẳng thức A + B = A sẽ đúng nếu B kéo theo A (hayviệc xảv ra B luôn kéo theo xảy ra /l). Bài 2. Cho sơ đổ m ạng điện trên hình 1.], gồm 3 bóng đèn.Việc m ạng mất diện (sự kiện A) chí có thể xảy ra do cháy cácbóng đèn (ký hiệu là các sự kiện Aị. /l,, và Aị). Hãy bicLi diễn Atheo các Aị, I - 1, 2, 3. Giải. Sự kiện A xảy ra khixảy ra một trong 3 trường hợp: a) Cả ba bó n g đểu cháy; b) C h á y h a i b ó n g 1 và 3; c) C h á y h a i b ó n g 2 v à 3. H ì n h 1.1 1T ừ đ ó ta có: / = /^I /4 , / l 3 + .4 1 / .4 3 + /Vị /1 3 ,4Có thể dùng tính chất của việc mắc s o n s song và nối tiếp cácbóng đê’ có mội biểu diẻn khác như sau: A = Ụ ị + /li ),4 , . Bài 3. Sự kiện /4 - có ít nliất một trong 4 sản phẩm là phốphẩm; B - ...