Báo cáo nghiên cứu khoa học: Mở rộng một số định lí giới hạn cho các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm và phụ thuộc âm tuyến tính

Tuyển tập các báo cáo nghiên cứu khoa học hay nhất của trường đại học vinh tác giả. 5. Nguyễn Văn Quảng, Đào Thị Hồng Thuỷ, Mở rộng một số định lí giới hạn cho các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm và phụ thuộc âm tuyến tính..Cụ thể thì Vật lý khoa học nghiên cứu về các quy luật vận động của tự nhiên, từ thang vi mô (các hạt cấu tạo nên vật chất) cho đến thang vĩ mô (các hành tinh, thiên hà và vũ trụ). Trong tiếng Anh, từ vật lý (physics) bắt nguồn từ tiếng...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Mở rộng một số định lí giới hạn cho các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm và phụ thuộc âm tuyến tính" Më réng mét sè ®Þnh lÝ giíi h¹n cho c¸c biÕn ngÉu nhiªn phô thuéc ©m vµ phô thuéc ©m tuyÕn tÝnh (a) (b) nguyÔn v¨n qu¶ng , ®µo thÞ hång thuû Tãm t¾t. Trong bµi viÕt nµy chóng t«i sÏ thiÕt lËp mét sè luËt yÕu sè lín vµ ®Þnh lÝ giíi h¹n trung t©m cho c¸c biÕn ngÉu nhiªn phô thuéc ©m vµ phô thuéc ©m tuyÕn tÝnh. 1 Më ®Çu §éc lËp lµ mét kh¸i niÖm c¬ b¶n cña lÝ thuyÕt x¸c suÊt. C¸c c«ng tr×nh nghiªn cøu trªn c¸c biÕn ngÉu nhiªn ®éc lËp rÊt phong phó vµ cã nhiÒu kÕt qu¶ quan träng nh­ c¸c luËt sè lín, c¸c ®Þnh lÝ giíi h¹n trung t©m... Do yªu cÇu cña thùc tÕ vµ tõ sù ph¸t triÓn cña lÝ thuyÕt x¸c suÊt, gÇn ®©y xuÊt hiÖn nhiÒu c«ng tr×nh nghiªn cøu trªn c¸c ®èi t­îng tæng qu¸t h¬n nh­ c¸c biÕn ngÉu nhiªn phô thuéc ©m, liªn kÕt ©m, ... vµ còng thu ®­îc nhiÒu kÕt qu¶ thó vÞ (xem [2], [3], [6],...). Trong bµi viÕt nµy chóng t«i sÏ thiÕt lËp mét sè luËt yÕu sè lín vµ ®Þnh lÝ giíi h¹n trung t©m cho c¸c biÕn ngÉu nhiªn phô thuéc ©m vµ phô thuéc ©m tuyÕn tÝnh. 1. X1 , ..., Xn ®­îc gäi lµ phô thuéc ©m nÕu tho¶ m·n C¸c biÕn ngÉu nhiªn §Þnh nghÜa n n xi ), ∀x1 , ..., xn ∈ R P( [Xi xi ]) P (Xi (1) i=1 i=1 n n P (Xi > xi ), ∀x1 , ..., xn ∈ R. P( [Xi > xi ]) (2) vµ i=1 i=1 X1 , ..., Xn , ... D·y c¸c biÕn ngÉu nhiªn ®­îc gäi lµ phô thuéc ©m nÕu mäi tËp con h÷u h¹n cña nã phô thuéc ©m. X1 , ..., Xn , ... D·y c¸c biÕn ngÉu nhiªn ®­îc gäi lµ phô thuéc ©m ®«i mét nÕu víi mäi i=j Xi , X j th× lµ phô thuéc ©m. Tõ ®Þnh nghÜa ta thÊy c¸c biÕn ngÉu nhiªn ®éc lËp (®éc lËp ®«i mét) lµ c¸c biÕn ngÉu nhiªn phô thuéc ©m (phô thuéc ©m ®«i mét). Tuy nhiªn vÝ dô sau chøng tá r»ng tån t¹i c¸c biÕn ngÉu nhiªn phô thuéc ©m nh­ng kh«ng ®éc lËp. (Ω, F , P ) víi Ω = {1, 2, 3, 4}, F = {∀A : A ⊂ Ω} vµ P (A) = XÐt kh«ng gian x¸c suÊt |A| A = {1, 2}, B = {2, 3, 4}. Khi ®ã, dÔ dµng kiÓm tra trùc tiÕp ®­îc r»ng IA , IB 4 . LÊy lµ c¸c biÕn ngÉu nhiªn phô thuéc ©m nh­ng kh«ng ®éc lËp. 1 NhËn bµi ngµy 21/9/2007. Söa ch÷a xong ngµy 19/12/2007. 2. X1 , ..., Xn , ... ®­îc gäi lµ phô thuéc ©m tuyÕn D·y c¸c biÕn ngÉu nhiªn §Þnh nghÜa A, B vµ c¸c tËp h»ng sè d­¬ng tÝnh nÕu víi c¸c tËp c¸c sè nguyªn d­¬ng rêi nhau (λk , k ∈ A), (λl , l ∈ B ) th× λk X k , λl Xl phô thuéc ©m. k ∈A l ∈B Râ rµng c¸c biÕn ngÉu nhiªn phô thuéc ©m tuyÕn tÝnh th× phô thuéc ©m ®«i mét. 2 C¸c kÕt qu¶ Tr­íc hÕt, chóng ta cÇn mét sè bæ ®Ò. 1. X1 , ...., Xn f1 , ..., fn ([4]) NÕu lµ c¸c biÕn ngÉu nhiªn phô thuéc ©m vµ lµ c¸c Bæ ®Ò f (X1 ), ..., f (Xn ) hµm Borel cïng t¨ng hoÆc cïng gi¶m th× lµ c¸c biÕn ngÉu nhiªn phô thuéc ©m. 2. X1 , X 2 ([4]) NÕu lµ c¸c biÕn ngÉu nhiªn phô thuéc ©m th× Bæ ®Ò EX1 X2 E X1 EX2 cov (X1 , X2 ) 0. vµ 1. X1 , ..., Xn lµ c¸c biÕn ngÉu nhiªn phô thuéc ©m ®«i mét th× NÕu HÖ qu¶ D(X1 + ... + Xn ) DX1 + ... + DXn . X1 , ..., Xn i=j cov (Xi , Xj ) 0. Suy Chøng minh. V× phô thuéc ©m nªn víi mäi cã ra n n n D( Xk ) = D(Xk ) + cov (Xi , Xj ) D(Xk ). i 0 tuú ý, ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Chebyshev vµ HÖ qu¶ 1 Chøng minh. Víi mçi ta cã n n n 1 D( n Xi ) D( Xi ) DXi n n ...