Báo cáo nghiên cứu khoa học: MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM YẾU CỦA PHƯƠNG TRÌNH TẬP MỨC MẶT CỰC TIỂU

Tham khảo luận văn - đề án báo cáo nghiên cứu khoa học: " một số tính chất của nghiệm yếu của phương trình tập mức mặt cực tiểu", luận văn - báo cáo phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Báo cáo nghiên cứu khoa học: " MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM YẾU CỦA PHƯƠNG TRÌNH TẬP MỨC MẶT CỰC TIỂU"7 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM YẾU CỦA PHƯƠNG TRÌNH TẬP MỨC MẶT CỰC TIỂU SOME PROPERTIES OF WEAK SOLUTIONS OF LEVEL SET MINIMAL SURFACE EQUATIONS NGUYỄN CHÁNH ĐỊNH Trường Đại học Bách khoa, Đại học Đà Nẵng TÓM TẮT Trong [4], chúng tôi đã chứng minh sự tồn tại của một loại nghiệm yếu cho phương trình tập mức mặt cực tiểu. Loại nghiệm này nhận được từ giới hạn của một dãy nghiệm cổ điển của phương trình xấp xỉ tương ứng. Trong bài báo này, chúng tôi đưa ra một số tính chất cơ bản của loại nghiệm yếu này. ABSTRACT In [4], we have proved that there exists a weak solution for level set minimal surface equations. This kind of solution has been obtained as a limit of a sequence of classical solutions of the correspondent approximate equations. In this paper, we will give some properties of the weak solutions.1. ĐẶT VẤN ĐỀXét phương trình tập mức mặt cực tiểu [4]   u x ux    ij  i 2j u  0 , trong  , (1)  xi x j  u  với điều kiện biên: u( x)  u 0 ( x), với mọ i x   . (2)Trong đó,  là một miền trong R n với biên trơn  .Trong [4], chúng tôi đ ã chứng minh được rằng, tồn tại một nghiệm yếu cho phương trình (1)với điều kiện biên (2). Nghiệm này biểu diễn mặt cực tiểu S d ưới dạng một tập mức không củanó với biên  được cho trên  bởi một hàm trơn u 0 .Trước khi nêu ra một vài tính chất của nghiệm yếu, chúng ta nhắc lại các định nghĩa vềnghiệm yếu [4].ĐỊNH NGHĨA NGHIỆM YẾUTa ký hiệu: C ()  { u :   R | u liên tục trên } .Định nghĩa: Một nghiệm yếu d ưới của phương trình (1) là một hàm u  C () sao cho:Với mỗi   C  (), hàm u   đ ạt cực đại địa phương tại một điểm x 0   , thì8   xi ( x0 ) x j ( x0 )     ij   ( x )  0   xi x j 0 2    ( x0 )    khi  (x 0 )  0,  và   ij   i j  xi x j ( x0 )  0   n   R ,   1, khi  (x 0 )  0. Định nghĩa: Một nghiệm yếu trên của phương trình (1) là một hàm u  C () sao cho:Với mỗi   C  (), hàm u   đ ạt cực tiểu địa phương tại một điểm x0   , thì   x ( x0 ) x j ( x0 )     ij  i  ( x )  0   xi x j 0 2   ( x0 )    khi  (x 0 )  0,  và   ij   i j  xi x j ( x0 )  0   n   R ,   1, khi  (x 0 )  0. Định nghĩa: Một nghiệm yếu của phương trình (1) là một hàm u  C () sao cho u vừa lànghiệm yếu d ưới vừa là nghiệm yếu trên của phương trình (1).2. GIẢI QUYẾT BÀI TOÁNĐịnh lý 1: (i) Giả sử u k là một nghiệm yếu dưới của phương trình (1) với k=1,2,… vàu k  u đ ều trên  . Khi đó u là mộ t nghiệm yếu dư ới của phương trình (1).(ii) Khẳng định trên vẫn đúng cho nghiệm yếu trên và nghiệm yếu.Chứng minh: Cho   C  () và u   đạt cực đại ngặt địa phương tại một điểm x0   . Vìu k  u đ ều gần x0 , nên tồn tại một d ãy các điểm {x k }1   thỏa mãn: k xk  x0 khi k   ; u k   đạt cực đại ...