Báo cáo nghiên cứu khoa học: Về các môđun fg - nội xạ và fg – xạ ảnh

Tuyển tập các báo cáo nghiên cứu khoa học trường đại học Huế đề tài: Về các môđun fg - nội xạ và fg – xạ ảnh...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Báo cáo nghiên cứu khoa học: " Về các môđun fg - nội xạ và fg – xạ ảnh"T P CHÍ KHOA H C Đ I H C HU , S 50-2009 CÁC MÔĐUN f g -N I X VÀ f g -X V NH Tr n Nguy n Đình Nam, Trư ng ĐHSP, Đ i H c Hu . Tóm t t. Trong bài báo này chúng tôi xét các l p môđun f g -n i x và f g -x nh. Đây là các l p môđun m r ng c a l p môđun n i x và x nh tương ng. L pvành n a đơn đư c đ c trưng qua các l p môđun f g -n i x và f g -x nh. M t stính ch t c a vành Noether, vành QF , V -vành, vành suy bi n, hoàn toàn không suybi n cũng đư c kh o sát qua các l p môđun f g -n i x và f g -x nh. 1. M ĐU Trong su t bài báo này, vành R luôn đư c gi thi t là m t vành k t h p có đơnv 1 = 0. Các môđun trên m t vành luôn đư c hi u là môđun ph i đơn nguyên(unitary). M t ph n t a ∈ R đư c g i là chính quy von Neumann (hay ng n g nlà chính quy ) n u t n t i b ∈ R sao cho a = aba. Vành R g i là chính quy n u m iph n t c a nó là chính quy. Cho M là m t R-môđun, m t ph n t m ∈ M g i làph n t suy bi n (singular element ) n u iđêan ph i r(m) là c t y u trong RR . T pt t c các ph n t suy bi n c a M t o thành môđun con c a M và g i là môđuncon suy bi n c a M , ký hi u là Z (M ). Môđun M g i là môđun suy bi n (singularmodule ) n u Z (M ) = M , trong trư ng h p Z (M ) = 0 thì M đư c g i là môđunhoàn toàn không suy bi n (nonsingular ). Vành R g i là suy bi n ph i (t.ư. hoàn toànkhông suy bi n ph i ) n u Z (RR ) = R (t.ư Z (RR ) = 0). Môđun MR g i là n a đơnn u MR là t ng t t c các môđun con đơn c a nó. Vành R g i là n a đơn n u RRlà môđun n a đơn. Như chúng ta đã bi t, các l p môđun n i x và x nh là r t quan tr ng đ đ ctrưng nhi u l p vành khác nhau. Chính vì th vi c m r ng n i x đã và đang đư cnhi u nhà toán h c nghiên c u, m t trong các hư ng đó là m r ng n i x thôngqua tiêu chu n Baer. M t trong các l p m r ng quan tr ng theo hư ng này là l pcác môđun p-n i x . Môđun MR đư c g i là p-n i x n u m i đ ng c u R-môđunt b t kỳ iđêan ph i chính nào vào M cũng m r ng đư c thành m t đ ng c u tR vào M . Đi u này tương đương v i lM rR (a) = M a v i m i a ∈ R, đây l và rtương ng là các linh hóa t trái và ph i c a a. Trong [6], R.Y.C.Ming đã đưa rakhái ni m môđun C -n i x và C -x nh. Ông đã ch ng minh r ng đó là l p mr ng th c s c a l p các môđun n i x và x nh, đ ng th i l p môđun p-n i x làm r ng th c s c a l p môđun C -n i x . Chúng tôi ti p t c s d ng ý tư ng c aR.Y.C.Ming đ đưa ra l p môđun f g -n i x và f g -x nh, đ ng th i kh o sát m ts tính ch t c a nó. Chúng ta dùng các ký hi u N ≤ M , N ≤e M , , M od-R và J tương ng đ ch Nlà môđun con c a M , N là môđun con c t y u c a M , ph m trù các R-môđun ph i 71và căn Jacobson c a R. Các khái ni m và k t qu không nh c đ n trong bài báo cóth tham kh o trong Anderson, Fuller [1], Faith [2], Lam [3], Nicholson, Yousif [7]và Wisbauer [9]. 2. MÔĐUN f g -N I X VÀ f g -X NHĐ nh nghĩa 2.1. (1) Môđun MR đư c g i là f g -n i x n u v i m i R-môđun Nvà P là môđun con h u h n sinh c a N , m i R-đ ng c u t P vào M đ u m r ngđư c thành m t đ ng c u t N vào M . (2) Môđun MR đư c g i là môđun f g -x nh n u v i m i môđun h u h n sinhNR , v i m i toàn c u g : N −→ P và đ ng c u f : M −→ P , t n t i đ ng c uh : M −→ N sao cho f = gh.M nh đ 2.2. Cho (Mα )α∈B là m t h các R-môđun ph i. Khi đó Mα là f g -n i Bx khi và ch khi Mα là f g -n i x , v i m i α ∈ B .Ch ng minh. Gi s r ng B Mα là f g -n i x . V i m i α ∈ B , v i m i R-môđunN và P là m t môđun con h u h n sinh c a N , cho g : P −→ N là đơn c u baohàm và f : P −→ Mα là đ ng c u b t kỳ, xét phép nhúng i : Mα −→ B Mα . Do B Mα là f g -n i x nên t n t i h : N −→ B Mα sao cho hg = if . Đ t hα = πα h,khi đó v i m i p ∈ P ta có hα g (p) = πα hg (p) = πα if (p) = f (p) nên hα g = f . V yMα là f g -n i x . Ngư c l i, gi s r ng m i Mα là f g -n i x . V i N là R-môđun b t kỳ, l yP = a1 R + ... + ak R là môđun con h u h n sinh c a N và đơn c u g : P −→ N .V i m i đ ng c u h : P −→ B Mα , khi đó v i m i i ∈ {1, ..., k }, ta có h(ai ) =(mi )α∈B ∈ B Mα . N u g i B là t p con c a B sao cho t n t i i ∈ {1, ..., k } đ αmi = 0 thì B là t p h u h n. Xét phép chi u pB : B Mα −→ Mα . V i m i αα ∈ B thì Mα là f g -n i x nên t n t i fα : N −→ Mα sao cho fα g = pα pB h. Đ t:f : N −→ B Mα xác đ nh b i f (n) = (fα (n))α∈B , ∀n ∈ N thì f là đ ng c u. Đ tf = ιB f v i ιB : B Mα −→ B Mα là phép nhúng. V i m i i0 ∈ {1, ..., k } thìf g (ai0 ) = (fα g (ai0 ))α∈B = (pα pB h(ai0 ))α∈B = pB h(ai0 ). Vì h(ai0 ) = (mi0 )α∈B và ...