Báo cáo nghiên cứu khoa học: Về tính ổn định tiệm cận bình phương trung bình của hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ

Tuyển tập những báo cáo nghiên cứu khoa học hay nhất của trường đại học vinh tác giả: 2. Nguyễn Thanh Diệu, Về tính ổn định tiệm cận bình phương trung bình của hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Về tính ổn định tiệm cận bình phương trung bình của hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ" VÒ tÝnh æn ®Þnh tiÖm cËn b×nh ph¬ng trung b×nh cña hÖ ph¬ng tr×nh vi ph©n ngÉu nhiªn cã trÔ NguyÔn Thanh DiÖu (a) Tãm t¾t. Trong bµi b¸o nµy, chóng t«i ®a ra mét sè ®iÒu kiÖn ®ñ cho tÝnh æn ®Þnh tiÖm cËn b×nh ph¬ng trung b×nh cña hÖ ph¬ng tr×nh vi ph©n ngÉu nhiªn cã trÔ víi ma trËn hÖ sè h»ng sè. 1. Giíi thiÖu HÖ ph¬ng tr×nh vi ph©n ngÉu nhiªn ®îc sö dông ®Ó m« h×nh ho¸ c¸c hÖ ®éng lùctrong vËt lý, sinh häc, ho¸ häc vµ khoa häc x· héi. Trong nhiÒu trêng hîp tr¹ng th¸it¬ng lai cña hÖ kh«ng nh÷ng phô thuéc vµo hiÖn t¹i mµ cßn phô thuéc vµo qu¸ khø.HÖ ph¬ng tr×nh vi ph©n ngÉu nhiªn cã trÔ lµ c«ng thøc to¸n häc cña nh÷ng hÖ ®énglùc ®ã. Bµi to¸n æn ®Þnh cña nh÷ng hÖ nµy ®· ®îc nghiªn cøu bëi nhiÒu t¸c gi¶ [1-6].Trong bµi b¸o nµy, chóng t«i xÐt ®iÒu kiÖn ®ñ cho tÝnh æn ®Þnh tiÖm cËn b×nh ph¬ngtrung b×nh cña hÖ ph¬ng tr×nh vi ph©n ngÉu nhiªn tuyÕn tÝnh cã trÔ d¹ng dx(t) = (Ax(t) + r=1 Ai x(t − hi ))dt + Bx(t)dW (t) i . (2.1) x(u) = ξ (u), ∀u ∈ [−h, 0]; t ≥ 0 A, Ai , B ∈ Rd×d , W (t) lµ qu¸ tr×nh Weiner mét chiÒu, hi ∈ [0, h].trong ®ã, 2. Mét sè kh¸i niÖm vµ tÝnh chÊt c¬ b¶n (Ω, , { t }t 0 , P ) lµ kh«ng gian x¸c suÊt ®Çy ®ñ víi läc Trong suèt bµi b¸o ta xÐt{ t }t 0 liªn tôc tr¸i, chøa tÊt c¶ c¸c tËp cã x¸c suÊt kh«ng. Ký hiÖu x lµ chuÈn ¥clit x ∈ Rn , A lµ chuÈn cña ma trËn A nghÜa lµ A = sup{ Ax : x = 1}, B Tcña vÐct¬ B. P = (pij )n×nlµ ma trËn chuyÓn vÞ cña ma trËn Víi lµ ma trËn ®èi xøng x¸c ®Þnh λmax (P ); λmin (P ) lÇn lît lµ gi¸ trÞ riªng lín nhÊt, bÐ nhÊt cña P . h lµd¬ng, ký hiÖu C ([−h, 0]; Rn ) lµ hä tÊt c¶ c¸c hµm liªn tôc trªn [−h, 0] nhËn gi¸ trÞ trªnmét sè d¬ng, n 2 n nkh«ng gian R . L ( [−h, 0]; R ) lµ hä c¸c vect¬ ngÉu nhiªn t ®o ®îc, C ([−h, 0]; R )− tgi¸ trÞξ = {ξ (u) : −h 0} tho¶ m·n u 2 2 < ∞, ξ = sup E ξ (u) E −h u 0 E (.) lµ to¸n tö kú väng.trong ®ã XÐt hÖ ph¬ng tr×nh ngÉu nhiªn cã trÔ d¹ng: dx(t) = (Ax(t) + A1 x(t − h))dt + Bx(t)dw(t) víi t 0 (3.1) 1 NhËn bµi ngµy 01/11/2006. Söa ch÷a xong ngµy 06/9/2007. A, A1 , B ∈ Rn×n vµ −h x(u) = ξ (u) u 0,Víi ®iÒu kiÖn ban ®Çu lµ víi trong ®ãw lµ qu¸ tr×nh Weiner mét chiÒu x¸c ®Þnh trªn kh«ng gian x¸c suÊt (Ω, , { t }t 0 , P ),ξ ∈ L2 0 ( [ −h, 0 ] ; Rn ) . Ký hiÖu nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh (3.1) víi ®iÒu kiÖn ban ®Çu x(u) = ξ (u) víi−h u 0 lµ x(t, ξ ). §Þnh nghÜa 3.1. (i) HÖ ph¬ng tr×nh (3.1) ®îc gäi lµ æn ®Þnh b×nh ph¬ng trungb×nh nÕu víi mäi ε > 0 tån t¹i r > 0 sao cho E |x(t, ξ )|2 < ε t > t0 ; vµ ξ ∈ L2 0 ([−h, 0]; Rn ) tho¶ m·n ξ r.khi (ii) HÖ ph¬ng tr×nh (3.1) ®îc gäi lµ æn ®Þnh tiÖm cËn b×nh ph¬ng trung b×nh nÕuæn ®Þnh b×nh ph¬ng trung b×nh vµ E |x(t, ξ )|2 −→ 0 khi t −→ ∞. (3.2) XÐt hÖ ph¬ng tr×nh: dx(t) = Ax(t)dt + Bx(t)dW (t) (3.3) x(t0 ) = I ; t t0 , n × n; W (t) lµ qu¸ tr×nh Weiner mét chiÒu x¸c ®Þnh A, Btrong ®ã lµ ma trËn h»ng cì (Ω, , { t }t 0 , P ).trªn kh«ng gian x¸c suÊt Φ(t, s) lµ ma trËn nghiÖm c¬ b¶n cña (3.3). Gäi (3.3) ®îc gäi lµ æn ®Þnh mò b×nh ph¬ng trung §Þnh nghÜa 3.2 HÖ ph¬ng tr×nhb×nh nÕu tån t¹i K > 0; δ > 0 sao cho K e−δ( ...