Chỉ số chính qui của các điểm béo nằm trên hai đường thẳng trong p2

Bài viết Chỉ số chính qui của các điểm béo nằm trên hai đường thẳng trong p2 trình bày: Công thức tính chỉ số chính qui của tậpcác điểm béo nằm trên hai đường thẳng của không gian xạ ảnh P2 bằng phương pháp đại số, phương pháp của chúng tôi có thể mở rộng để xét các điểm béo trong không gian xạ ảnh Pn, n là số nguyên dương tuỳ ý,... Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chỉ số chính qui của các điểm béo nằm trên hai đường thẳng trong p2CHỈ SỐ CHÍNH QUI CỦA CÁC ĐIỂM BÉO NẰM TRÊNHAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG P2PHAN VĂN THIỆNTrường Đại học Sư phạm - Đại học HuếTóm tắt: Chúng tôi sẽ chỉ ra công thức tính chỉ số chính qui của tậpcác điểm béo nằm trên hai đường thẳng của không gian xạ ảnh P2 bằngphương pháp đại số. Phương pháp của chúng tôi có thể mở rộng để xétcác điểm béo trong không gian xạ ảnh Pn , n là số nguyên dương tuỳ ý.1 GIỚI THIỆUCho Pn := PnK là không gian xạ ảnh n-chiều trên trường K, K là trường đóng đại số,và R := K[X0 , . . . , Xn ] là vành đa thức theo n + 1 biến X0 , . . . , Xn . Cho P1 , . . . , Pslà các điểm phân biệt trong Pn và m1 , . . . , ms là các số nguyên dương.Gọi ℘1 , . . . , ℘s là các iđêan nguyên tố thuần nhất trong R xác định bởi các điểmms1P1 , . . . , Ps tương ứng. Đặt I = ℘m1 ∩ · · · ∩ ℘s . Cho Z là lược đồ chiều không xácđịnh bởi I và chúng ta gọiZ := m1 P1 + · · · + ms Pslà tập s điểm béo trong Pn . Đây chính là lược đồ của tất cả các siêu mặt trong R cósố bội ≥ mi tại mọi Pi , i = 1, . . . , s.Vành toạ độ của Z là A := R/I. Vành A = ⊕ At là vành phân bậc Cohen-Macaulayt≥01-chiều có số bội làe(A) =)s (∑mi + n − 1i=1n.Hàm Hilbert HA (t) = dimK At của A tăng chặt cho đến khi nó đạt đến số bội e(A),từ đó nó dừng. Số nguyên t bé nhất sao cho HA (t) = e(A) được gọi là chỉ số chínhqui của tập điểm béo Z, chúng tôi ký hiệu nó là reg(Z) (hay reg(A)).Việc tính toán được chỉ số chính qui reg(Z) là rất khó. Cho đến nay, chỉ có một ítcác kết quả về việc tính reg(Z) được công bố.Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm HuếISSN 1859-1612, Số 04(24)/2012: tr. 5-106PHAN VĂN THIỆNNăm 1984, E.D. Davis và A.V. Geramita [2] tính được chỉ số chính qui của tập điểmbéo Z = m1 P1 + · · · + ms Ps trong trường hợp tất cả các điểm P1 , . . . , Ps nằm trêncùng một đường thẳng của Pn :reg(Z) = m1 + · · · + ms − 1.Một tập điểm trong Pn được gọi là ở vị trí tổng quát nếu không có j + 2 điểmtrong chúng nằm trên cùng một j-phẳng với j < n. Năm 1993, M.V. Catalisano,N.V. Trung và G. Valla [1] chỉ ra công thức tính chỉ số chính qui cho tập điểm béoZ = m1 P1 + · · · + ms Ps trong Pn ở hai trường hợp:◦ s ≥ 2 và các điểm P1 , . . . , Ps nằm trên một đường cong hữu tỉ chuẩn:s{[ (∑) ]}reg(Z) = max m1 + m2 − 1,mi + n − 2 /n .i=1◦ n ≥ 3, 2 ≤ s ≤ n + 2, 2 ≤ m1 ≥ · · · ≥ ms và P1 , . . . , Ps ở vị trí tổng quát trong Pn :reg(Z) = m1 + m2 − 1.Năm 2009, P.V. Thiện [4] đã tính được chỉ số chính qui của s điểm béo Z = m1 P1 +· · · + ms Ps ở vị trí tổng quát trong Pn , s ≤ n + 2:s{[ (∑) ]}reg(Z) = max h − 1,mi + n − 2 /n ,i=1với h = max{mi1 + · · · + miq |Pi1 , . . . , Piq nằm trên một đường thẳng}.Gần đây, P.V. Thiện [5] đã tính được chỉ số chính qui của s + 2 điểm béo Z =m1 P1 + · · · + ms+s Ps+2 không nằm trên một (s − 1)-phẳng trong Pn :reg(Z) = max{Tj | j = 1, . . . , n},với{[∑qTj = maxl=1]}m il + j − 2| Pi1 , . . . , Piq nằm trên một j-phẳng .jTrong bài báo này chúng tôi sẽ chỉ ra công thức tính chỉ số chính qui của các điểmbéo nằm trên hai đường thẳng của không gian xạ ảnh P2 bằng phương pháp đại số.Phương pháp của chúng tôi có thể mở rộng để xét các điểm béo trong không gianxạ ảnh Pn , n là số nguyên dương tuỳ ý.CHỈ SỐ CHÍNH QUI CỦA CÁC ĐIỂM BÉO NẰM TRÊN HAI ĐƯỜNG THẲNG72 MỘT SỐ BỔ ĐỀ CẦN DÙNGChúng tôi sẽ cần đến các bổ đề sau đây, chúng đã được chứng minh trong [1].Bổ đề 2.1. ([1, Lemma 1]) Cho P1 , . . . , Pr , P là các điểm phân biệt trong Pn vàcho ℘ là iđêan xác định bởi điểm P . Nếu m1 , . . . , mr và a là các số nguyên dương,mra1J = ℘m1 ∩ · · · ∩ ℘r , I = J ∩ ℘ , thìreg(R/I) = max {a − 1, reg(R/J), reg(R/(J + ℘a ))} .Để ước lượng reg(R/(J + ℘a )) chúng tôi sẽ dùng bổ đề sau.Bổ đề 2.2. ([1, Lemma 3]) Cho P1 , . . . , Pr , P là các điểm phân biệt trong Pn vàmr1m1 , . . . , mr , a là các số nguyên dương. Đặt J = ℘mvà ℘ = (X1 , . . . , Xn ).1 ∩ · · · ∩ ℘rKhi đó,reg(R/(J + ℘a )) ≤ bnếu và chỉ nếu X0b−i M ∈ J +℘i+1 với mọi đơn thức M bậc i theo các biến X1 , . . . , Xn ,i = 0, . . . , a − 1.Để tìm số b trong bổ đề trên, chúng tôi sẽ tìm một số nguyên t = t(J, M ) sao chocó t siêu phẳng H1 , ..., Ht tránh P và H1 · · · Ht M ∈ J. Với j = 1, ..., t, do có thể viếtHj = X0 + Gj , với Gj ∈ ℘, nên (X0 + G1 ) · · · (X0 + Gt )M ∈ J. Vì vậy, có G ∈ ℘ saocho X0t M + GM ∈ J. Từ đó, X0t M ∈ J + ℘i+1 và ta có được bổ đề sau.Bổ đề 2.3. Cho P1 , . . . , Pr , P là các điểm phân biệt trong Pn và m1 , . . . , mr , a làmr1các số nguyên dương. Đặt J = ℘mvà ℘ = (X1 , . . . , Xn ). Giả sử rằng với1 ∩ · · · ∩ ℘rmọi đơn thức M bậc i theo các biến X1 , . . . , Xn , i = 0, . . . , a − 1 ta tìm được t siêuphẳng H1 , ..., Ht tránh P và H1 · · · Ht M ∈ J. Khi đó,reg(R/(J + ℘a )) ≤ max{t + i|i = 0, . . . , a − 1}.3 CÁC KẾT QUẢMệnh đề 3.1. Cho P1 , . . . , Ps là các điểm phân biệt nằm trên một đường thẳng trongP2 và m1 , . . . , ms là các số nguyên dương. Gọi ℘1 , . . . , ℘s là các iđêan nguyên tố thuầnms−11nhất trong R xác định bởi các điểm P1 , . . . , Ps tương ứng. Đặt J = ℘m1 ∩ · · · ∩ ℘s−1 .Khi đó,sreg(R/(J + ℘ms )) = m1 + · · · + ms − 1.8PHAN VĂN THIỆNChứng minh. Chọn Ps = (1, 0, 0), P1 = (0, 1, 0). Khi đó, ℘s = (X1 , X2 ), ℘1 =(X0 , X2 ), ℘j = (aj X1 − bj X0 , X2 ), j = 2, . . . , s − 1. Cho M là đơn thức bậc itheo các biến X1 , X2 , i = 0, . . . , ms − 1. Với j = 1, . . . , s − 1, qua mỗi điểm Pj taluôn lấy được một đường thẳng Hj đi qua Pj và tránh Ps . Khi đó,ms−1H1m1 · · · Hs−1M ∈ J.Theo Bổ đề 2.3 ta cósreg(R/(J + ℘ms )) ≤ m1 + · · · + ms − 1.−1s−1Mặt khác, do X0 1X1ms −1 ∈/ (X0 , X2 )m1 ∩ (a2 X1 − b2 X0 , X2 )m2 ∩ · · · ∩s(as−1 X1 − bs−1 X0 , X2 )ms−1 + (X1 , X2 )ms = J + ℘mnên theo Bổ đề 2.2 ta cósm +···+msreg(R/(J + ℘ms )) ≥ m1 + · · · + ms − 1.Từ hai bất đẳng thức trên suy rasreg(R/(J + ℘ms )) = m1 + · · · + ms − 1.Mệnh đề 3.2. Cho X = {P1 , ...