Chủ đề 2: Quan hệ giữa các yếu tố của tam giác

Cho tam giác ABC và hai điểm N, M lần lượt là trung điểm của cạnh AC, AB. Trên tia BN lấy điểm B/ sao cho N là trung điểm của BB/. Trên tia CM lấy điểm C/ sao cho M là trung điểm của CC/. Chứng minh: a. B/C/ // BC b. A là trung điểm của B/C/ C/ Giải: a. Xét hai tam giác AB/N và CBN ta có: AN = NC; NB = NB/ (gt); ANB/ = BNC (đối đỉnh) Vậy AB / N  CBN suy ra AB/ = BC
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chủ đề 2: Quan hệ giữa các yếu tố của tam giác Chủ đề 2: Quan hệ giữa các yếu tố của tam giác. Các đường đồng quy trong tam giác - Biểu thức đại sốTiết 10:Bài 9: Cho tam giác ABC và hai điểm N, M lần lượt là trung điểm của cạnhAC, AB. Trên tia BN lấy điểm B/ sao cho N là trung điểm của BB/. Trên tiaCM lấy điểm C/ sao cho M là trung điểm của CC/. Chứng minh:a. B/C/ // BCb. A là trung điểm của B/C/ C/Giải:a. Xét hai tam giác AB/N và CBN M Nta có: AN = NC; NB = NB/ (gt);ANB/ = BNC (đối đỉnh)Vậy AB / N  CBN suy ra AB/ = BC B Cvà B = B/ (so le trong) nên AB/ // BC Chứng minh tương tự ta có: AC/ = BC và AC/ // BCTừ nmột điểm A chỉ kẻ được một đường thẳng duy nhất song song với BC.Vậy AB/ và AC/ trùng nhau nên B/C/ // BC.b. Theo chứng minh trên AB/ = BC, AC/ = BCSuy ra AB/ = AC/Hai điểm C/ và B/ nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ là đường thẳngACVậy A nằm giữa B/ và C/ nên A là trung điểm của B/C/Bài 10: Cho tam giác ADE có D = E. Tia phân giác của góc D cắt AE ởđiểm M, tia phân giác của góc E cắt AD ở điểm M. So sánh các độ dài DNvà EMHướng dẫn:Chứng minh: DEN  EDM (g.c.g)Suy ra: DN = EM (cặp cạnh tương ứng)Bài 11: Cho hình vẽ bên ABtrong đó AB // HK; AH // BKChứng minh: AB = HK; AH = BK.Giải:Kẻ đoạn thẳng AK, AB // HK H K  A1 = K1 (so le trong)AH // BK  A2 = K2 (so le trong)Do đó: ABK  KHA (g.c.g)Suy ra: AB = HK; BK = HKBài 12: Cho tam giác ABC, D là trung điểm của AB, đường thẳng qua D vàsong song với BC cắt AC tại E, đường thẳng qua E song song với BC cắt BCở F, Chứng minh rằng a. AD = EF b. ADE  EFC A c. AE = ECGiải:a.Nối D với F do DE // BF AEF // BD nên DEF  FBD (g.c.g)Suy ra EF = DBTa lại có: AD = DB suy ra AD = EF D Eb.Ta có: AB // EF  A = E (đồng vị)AD // EF; DE = FC nên D1 = F1 (cùng bằng B)Suy ra ADE  EFC (g.c.g) B FCc. ADE  EFC (theo câu b)suy ra AE = EC (cặp cạnh tương ứng)Tiết 11:Bài 13: Cho tam giác ABC D là trung điểm của AB, E là trung điểm củaAC vẽ F sao cho E là trung điểm của DF. Chứng minh: Aa. DB = CFb. BDC  FCD D F E 1c. DE // BC và DE = BC 2Giải: B Ca. AED  CEF  AD = CFDo đó: DB = CF (= AD)b. AED  CEF (câu a)suy ra ADE = F  AD // CF (hai góc bằng nhau ở vị trí so le)AB // CF  BDC = FCD (so le trong)Do đó: BDC  ECD (c.g.c)c. BDC  ECD (câu b)Suy ra C1 = D1  DE // BC (so le trong)BDC  FCD  BC = DF 1 1Do đó: DE = DF nên DE = BC 2 2Bài 14: Cho góc tù xOy kẻ Oz vuông góc với Ox (Oz nằn giữa õ và Oy. KẻOt nằm giữa Ox và Oy). Trên các tia Ox, Oy, Oz, Ot theo thứ tự lấy cácđiểm A, B, C, D sao cho OA = OC và OB = OD. Chứng minh hai đườngthẳng AD và BC vuông góc với nhau.Giải:Xét tam giác OAD và OCB có t zOA = OC, O1 = O3 (cùng phụ với O2)OD = OB (gt) x CVậy OAD  OCB (c.g.c) A D F  A = C mà E1 = E2 (đối đỉnh)Vậy CFE = AOE = 900  AD  Bc O ByBài 15: Cho tam giác ABC trung điểm của BC là M, kẻ AD // BM và AD =BM(M và D khác phía đối với AB) Trung điểm của AB là I.a. Chứng minh ba điểm M, I, D thẳng hàngb. Chứng minh: AM // DBc. Trên tia đối của tia AD lấy điểm AE = ADChứng minh EC // DBGiải: D A Ea. AD // Bm (gt)  DAB = ABMIAD  IBM có (AD = BM; DAM = ABM (IA = IB) Suy ra DIA = BIM mà DIA + DIB = 1800 nên BIM + DIB = 1800 B MC Suy ra DIM = 1800 Vậy ba điểm D, I, M thẳng hàngb. AIM  BID (IA = IB, DIB = MIB) ID = IM  BDM = DMA  AM // BD.c. AE // MC  EAC = ACM; AE = MC (AC chung) Vậy AEC  CMA (c.g.c) Suy ra MAC = ACE  AM // CE mà AM // BD Vậy CE // BDBài 16: Ở hình bên có A1 = C1; A2 = C2. So sánh B và D chỉ ra những cặpđoạn thẳng bằng nhau.Giải: B CXét tam giác ABC và tam giác CDAchúng có:A2 = C2; C1 = A1 cạnh Ac chungVậy ABC  CDA (g.c.g) A DSuy ra B = D; AB = CD Và BC = DABài 17: Cho tam giác ABC các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau tạiI. Qua I kẻ đường thẳng song song với BC. Gọi giao điểm của đường thẳngnày với AB, AC theo thức tự là D và E. Chứng minh rằng DE = BD.Giải: A DI // DC  I1 = B1 (so le)BI là đường phân giác của góc B  B1 = B2 D I E Suy ra I1 = B2Tam giác DBI có:I1 = B2  Tam giác DBI cân BD = BI (1) BCChứng minh tương tự CE = EI (2)Từ (1) và (2): BD + CE = DI + EI = DEBài 18: Cho tam giác đều ABC lấy điểm D, E, F theo thứ tự thuộc cạnh AB,BC, CA sao cho AD = BE = CF. Chứng minh rằng tam giác DEF là tam giácđều.Giải: ATa có AB = BC = CA, AD = BE = CFNên AB - AD = BC - BE = CA - CF D FHay BD = CE = AFTam giác ABC đều A = B = C = 600 B E CADF  BED (c.g.c) thì DF = DE (cặp cạnh tương ứng)EBD  FCE (c.g.c) thì DE = EF (cặp cạnh tương ứng)Do đó: DF = DE = EFVậy tam giác DEF là tam giác đều. ...