Chương 2- TÍCH PHÂN BỘI Bài 1 Tích phân kép

Ðịnh nghĩa Cho hàm f(x,y) xác .ịnh trong miền .óngờ bị chặn D. Chia miền D thành n mảnh rời nhau D1, D2, .., Dn có diện tích lần . Trong mỗi mảnh Di , lấy tùy ý một .iểm Mi(xi, yi). Lập tổng ậgọi là tổng tích phân của hàm f(x,y))
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chương 2- TÍCH PHÂN BỘI Bài 1 Tích phân kép GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2 CHÝÕNG II: TÍCH PHÂN BỘI §1. Tích phân képI. ÐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT 1. Ðịnh nghĩaCho hàm f(x,y) xác ðịnh trong miền ðóngờ bị chặn D. Chia miền D thành n mảnh rờinhau D1, D2, .., Dn có diện tích lần lýợt là  S1,  S2,..,  Sn. Trong mỗi mảnh Di , lấytùy ý một ðiểm Mi(xi, yi). Lập tổng ậgọi là tổng tích phân của hàm f(x,y)) nGọi d(Di) là khoảng cách lớn nhất giữa hai ðiểm trong Di. Nếu tồn tại giới hạn h .v c24hữu hạnờ không phụ thuộc vào cách chia miền D và cách chọn ðiểm Mi(xi,yi), thì hàmf(x,y) gọi là khả tích trên miền D, và S gọi là tích phân kép của hàm f(x,y) trên miền D,ký hiệu ih o uNếu f(x,y) khả tích trên miền D, thì tích phân kép không phụ thuộc vào cách chia miền VD. Do ðóờ ta chia miền D bởi các ðýờng thẳng song song với các trục tọa ðộề ẩhi ðóờ Si =  x   y và dS = dx . dyVì vậy có thể viếtNgýời ta chứng minh ðýợc rằngầ ổàm f(x,y) liên tục trên một miền ðóngờ bị chặn Dthì khả tích trên miền ðóềTính chất: a) (diện tích của D) 29 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2 b) c) d) Nếu D = D1 D2 , D1 D2 =  thì e) Nếu f(x,y)  g(x,y)  (x,y) D thì f) Nếu m  f(x,y)  M  (x,y) D, m và ∞ là hằng sốờ thì M(x0,y0) sao cho .v n g) Nếu f(x,y) liên tục trên miền ðóngờ bị chặn D thì tồn tại ðiểm h (Ðịnh lý về giá trị trung bìnhấề 4trên D. Ðại lýợng o c2 gọi là giá trị trung bình của hàm f(x,y) uih 2. Ý nghĩa hình họcTa xét bài toánầ ộ Tìm thể tích của vật thể  giới hạn dýới bởi miền D (Oxy), giới Vhạn trên bởi mặt cong có phýõng trình z = f(x,y)  0 và giới hạn xung quanh bởi mặttrụ có ðýờng sinh song song với ẫz và ðýờng chuẩn là biên của ắ ộềTa tính thể tích của  bằng phýõng pháp gần ðúngề 30 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2Chia miền D thành n mảnh rời nhau D1,D2,..,Dn có diện tích  S1,  S2,.., Sn. Lấymỗi mảnh nhỏ làm ðáyờ dựng hình trụ con có ðýờng sinh song song với Oz, mặt phíatrên giới hạn bởi mặt z = f(x,y).Xét hình trụ con thứ iầ ðáy là Di, Lấy tùy ý ữ ðiểm ∞i(xi,yi). ta có thể tích hình trụ conthứ i  Vi  f(xi,yi). SiThể tích gần ðúng của  :Phép xấp xỉ này càng chính xác nếu n càng lớn và các mảnh Di có ðýờng kính càngnhỏ ậ d(Di): ðýờng kính của Di )Vậy .v nII. CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN KÉP 4 h 1. Ðýa về tích phân lặp o c2 ih Nếu thì V u 31 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2Nếu thì .v n hVí dụ 1: Xác ðịnh cận của tích phân với miền D xác ðịnh bởi các 4ðýờng c2 y = 0, y = x, x = 2 y = 0, y = x2, x + y = 2Giải: ih o hoặcV u Có hai cách biểu diễn D: Do ðó Có ị cách biểu diễn D: 32 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2Ví dụ 2: Tính , D giới hạn bởi các ðýờng y = x – 4, y2 = 2xGiải: Hoành ðộ giao ðiểmầ Do ðóờ miền D ðýợc biểu diễn Vậy .v n 4 h o c2 uih V 2. Ðổi biến trong tích phân képa. Ðổi biến tổng quát Giả sử x = x(u,v), y = y(u,v) là hai hàm có ðạo hàm riêng liên tục trên miền ðóngờ bị chặn Duv. Gọi Nếu f(x,y) khả tích trên Dxy và ðịnh thức ỹacobi trên Duv thì ta có 33 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2 Ví dụ 3: Tính với D giới hạn bởi các ðýờng Giải: Các ðýờng thẳng viết lại Ðặt u = x + y, v = 2x – y thì .v n Vậy 4 h c2b. Tích phân kép trong tọa ð cực ộ Công thức liên hệ tọa ðộ ihx = r.cos o V Ta cóầ u y = r.sin Do vậyầ Ví dụ 4: Tính , với ắ giới hạn bởiầ ậx –1)2 + y2  1, y  0 Giải: 34 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2 ...