Chương 5: CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU

Luật số lớn Bernoulli : Xét mô hình nhị thức với xác suất thành công p. Gọi Xi là số lần xuất hiện thành công trong phép thử thứ i. Khi đó X1 , X2 , … thỏa mãn luật số lớn (ε 0) :X1 + ... + X n Trong đó, fn = được gọi là tần suất n xuất hiện thành công trong n phép thử.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chương 5:CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀUChương 5:CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠNBIẾN NGẪU NHIÊN NHIỀUCHIỀUI. Các định lý giới hạn1. Luật số lớn Các biến ngẫu nhiên X1, …, Xn có kỳ vọng EXi , i = 1, 2, …, và được gọi là thỏa mãn luật số lớn nếu với bất kỳ ε > 0 ⎡ X 1 + ... + X n EX 1 + ... + EX n ⎤ ≤ ε ⎥=1 − lim P ⎢ ⎣ ⎦ n →∞ n nLuật số lớn Bernoulli : Xét mô hình nhị thứcvới xác suất thành công p. Gọi Xi là số lầnxuất hiện thành công trong phép thử thứ i.Khi đó X1 , X2 , … thỏa mãn luật số lớn (ε > 0) : lim P ⎡ fn − p ≤ ε ⎤ = 1 ⎣ ⎦ (1) n →∞ X1 + ... + X nTrong đó, fn = được gọi là tần suất nxuất hiện thành công trong n phép thử. Ngoài ra EXi = p, i =1, 2, … vì vậy EX i + ... + EX n np = =p n nNếu (1) thỏa mãn ta nói tần suất fn hội tụ đến p theoxác suất.• Khi các biến ngẫu nhiên Xi có luật phân phốiBernoulli thì chúng thỏa Luật số lớn Bernoulli. Ngoàira EXi = p , vì vậy EX i + ... + EX n np = =p n nVà tần suất fn hội tụ đến p theo xác suất.Ứng dụng thực tế : Để xác định xác suất p của sựkiện A trong một phép thử nào đó, người ta lặp lạiphép thử một số lớn lần độc lập với nhau. Sau đólấy tần suất làm xấp xỉ cho p.2. Định lý giới hạn trung tâm (ĐLGHTT) Các biến ngẫu nhiên X1 , X2 , … với kỳ vọng và phương sai hữu hạn, được gọi là thỏa mãn ĐLGHTT nếu ⎡ S n − ES n ⎤ ≤ x ⎥ = Φ ( x) lim P ⎢ (2) n →∞ ⎢ DSn ⎥ ⎣ ⎦ Trong đó Sn = X1 +…+Xn và Φ(x) là hàm phân phối của luật chuẩn tắc N(0, 1). Nếu đặt ⎡ ⎤ S n − ES n Fn ( x) = P ⎢ ≤x⎥ ⎢ DS n ⎥ ⎣ ⎦ S n − ES n ′là hàm phân phối của S n = DS nthì (2) có dạng lim Fn ( x ) = Φ ( x) n →∞Định lý giới hạn trung tâm Moivre – LaplaceXét mô hình Nhị thức với xác suất thành côngp, Xi là số lần xuất hiện thành công trongphép thử thứ i. Khi đó X1, X2 , … thỏa mãnĐLGHTT : ⎡ X − np ⎤ ≤ x ⎥ = Φ ( x) lim P ⎢ ⎢ npq ⎥ n →∞ ⎣ ⎦Trong đó X= X1 +…+ Xn là số lần xuất hiệnthành công trong n phép thử và X ~ B(n, p),EX = np, DX = npq.Như vậy trong một số lớn phép thử Bernoullithì chuẩn hóa của biến ngẫu nhiên chỉ số lầnthành công có phân phối Nhị thức sẽ có phânphối xấp xỉ chuẩn. X − np ~ N (0,1) npqHay X ~ N(np, npq).Công thức xấp xỉ : Cho X~ B(n, p) với n lớn.Khi đó X ~ N(np, npq) và từ đó ⎛ b − np ⎞ ⎛ a − np ⎞ P ( a ≤ X ≤ b) ≈ Φ ⎜ ⎟−Φ⎜ ⎜ npq ⎟ ⎜ npq ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠3. Định lý giới hạn địa phương (ĐLGHĐP) Moivre– Laplace : Xét mô hình Nhị thức với xác suất thành công p, Xi là số lần xuất hiện thành công trong phép thử thứ i. Khi đó X1, X2 , … thỏa mãn ĐLGHĐP : ⎡ ⎤ (k −np )2 − ⎢ ⎥ 1 2npq lim ⎢ P ( X = k ) − ⎥=0 e npq 2π n →∞ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Với X = X1 + …+ Xn , X ~ B(n, p).Công thức xấp xỉ : Cho X~ B(n, p) với n lớn.Khi đó (k −np)2 − 1 2npq P( X = k ) ≈ e npq 2πII. Véc tơ ngẫu nhiên1. Bảng phân phối đồng thời của véc tơ rời rạc (X,Y) .... Y y1 yn X x1 p11 . . . . p1n p1. ... ... .... .... ... . . . xm pm1 . . . . pmn pm. p.1 . . . . p.n 1 Trong đó pij = P(X= xi ; Y= yj ).Các xác suất lề : n pi . = ∑ pij = P ( X = xi ) j =1 m ∑ p. j = p ij = P (Y = y j ) i =1Các bảng phân phối lề : X x1 … xm y1 … Y yn P p1. … p.1 … ...