Chương 8: Phương pháp phần tử hữu hạn

Với phương pháp phần tử hữu hạn, miền tính toán được xem như là tập hợp nhiều miền con hữu hạn (finite element) có dạng hình học đơn giản (simple shape-element). Trên mỗi miền con này, phương trình chủ đạo (governing equation) được thiết lập với sử dụng một phương pháp biến phân nào đó.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chương 8: Phương pháp phần tử hữu hạn Khoa Xây Dựng Thủy Lợi - Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN Chương 8 Như đã phân tích ở chương 2, một bài toán có miền hình học phức tạp, có thể xem như là tập hợp của nhiều dạng hình học đơn giản (gọi là miền con hay phần tử –element); để việc xây dựng hàm xấp xỉ (hay còn gọi là hàm nội suy- interpolation function) trên miền con này được dễ dàng, hàm xấp xỉ được xây dựng một cách hệ thống cho hầu hết dạng hình học, hàm xấp xỉ này chỉ phụ thuộc vào phương trình vi phân, từ đó hình thành phương pháp phần tử hữu hạn. Với phương pháp phần tử hữu hạn, miền tính toán được xem như là tập hợp nhiều miền con hữu hạn (finite element) có dạng hình học đơn giản (simple shape-element). Trên mỗi miền con này, phương trình chủ đạo (governing equation) được thiết lập với sử dụng một phương pháp biến phân nào đó. Các phần tử được liên kết với nhau và phải thoả mãn điều kiện cân bằng và liên tục của các biến phụ thuộc qua biên của các phần tử. 8.1 Các loại phần tử Miền tính toán được chia thành nhiều miền con (còn gọi là phần tử); nếu miền tính toán là một chiều, ta có phần tử một chiều, miền tính toán là hai chiều ta có phần tử hai chiều, miền tính toán là ba chiều ta có phần tử ba chiều. Các loại phần tử một chiều Trang: 84 Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Khoa Xây Dựng Thủy Lợi - Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật Các loại phần tử hai chiều Các loại phần tử ba chiều Trang: 85 Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Khoa Xây Dựng Thủy Lợi - Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật 8.2 Hàm nội suy Lời giải xấp xỉ của ẩn số bài toán được cho bởi: n  h h .N j j (8.1) j1 Ở đây j là h àm nội suy (interpolation functions) và hj là ẩn của bài toán tại nút của phần tử. Ta cũng có thể mô tả hình dạng của phần tử bằng cách dùng các toạ độ của mỗi nút trong phần tử (xem Hình 8.1): n  (8.2a) x( p)  S ( p ). x j j j 1 n  (8.2b) y( p)  S ( p ). y j j j1 n  (8.2c) z( p)  S ( p ). z j j j1 Trang: 86 Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Khoa Xây Dựng Thủy Lợi - Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật Vì rằng hàm nội suy Sj được dùng xác định hình dạng của phần tử, nên thường được gọi là hàm dạng (shape functions). Hình 8.1: Hàm nội suy và hàm dạng của phần tử một chiều Bậc của đa thức dùng để nội suy và các hàm dạng bên trong phần tử có thể là khác nhau; người ta phân ra ba loại như sau: Phần tử d ưới tham số (subparametric elements) khi bậc đa thức hàm dạng nhỏ hơn bậc đa thức nội suy. Phần tử đẳng tham số (isoparametric elements) khi bậc đa thức hàm dạng bằng bậc đa thức nội suy. Phần tử trên tham số (superparametric elements) khi bậc đa thức hàm dạng lớn hơn bậc đa thức nội suy (xem Hình 8.2). Trang: 87 Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Khoa Xây Dựng Thủy Lợi - Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật Đa số các bài toán trong thực tế dùng phần tử đẳng tham số và hàm dạng đồng nhất với hàm nội suy. Hình 8.2: Minh hoạ về định nghĩa các loại phần tử một chiều dưới tham số, đẳng tham số, và trên tham số. Khi tại các nút chỉ chứa ẩn số h của bài toán, thường sử dụng hàm nội suy Lagrange (phần lớn các hàm nội suy trong các bài toán chất lỏng được sử dụng bởi nội suy Lagrange, do đó ở đây chỉ giới thiệu nội suy Lagrange); nếu tại các nút còn có ẩn số là đạo hàm h / xi thường sử dụng hàm nội suy Hermite. ...