CHUYÊN ĐỀ 1: Phương trình và hệ phương trình

Tham khảo tài liệu chuyên đề 1: phương trình và hệ phương trình, tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
CHUYÊN ĐỀ 1: Phương trình và hệ phương trìnhCHUYÊN ĐỀ 1: Phương trình và hệ phương trình.I.Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ thích hợp. 2 2  x2  4   x2  x 2     11. 2   0.Bài 1:Gpt:10.  x 1   x 1   x 1 Giải: x2 x2Đặt u  ;v  (1). x 1 x 1Ta có: 10.u2 + v2 -11.uv = 0  (u-v).(10u-v)=0  u=v hoặc 10u=v.Xét các trường hợp thay vào (1) ta tìm được x một cách dễ dàng.Bài 2:Gpt: (x2 - 4x+3).(x2 - 6x + 8)=15.Giải:Đặt x2 - 5x + 5 = u (1).Ta có: (x2 - 4x+3).(x2 - 6x + 8)=15 (x-1).(x-3).(x-2).(x-4)-15=0 (x-1).(x-2).(x-3).(x-4)-15=0 2 2 (x -5x+4).(x -5x+6)-15=0 (u-1).(u+1)-15=0 2 u -16=0 u=  4.Thay các giá trị của u vào (1) ta dễ dàng tìm được x. 2 x x     90.Bài 3:Gpt:   x 1  x 1 2 1 1 2 2x  2 2  90 .  x . 2  90 . Giải:PT  x .  ( x  1)2 ( x  1) 2  ( x  1) 2  Đặt u = x2 ( u  0) (1).Ta có: 2u  2  90  2u 2  2u  90.(u  1)2 ( u  1).u. 2 (u  1) 88u 2  182u  90  0 .Từ đây ta dễ dàng tìm được u, thay vào (1) ta tìm được x.Bài 4:Gpt: 3 x  3 2 x  3  3 12.( x  1) .Giải: 3 x  u; 3 2 x  3  v (1).ĐặtCó: u  v  3 4.(u 3  v 3 )  u 3  v 3  3uv.(u  v)  4.(u 3  v 3 ) u  v 3.(u  v).(u 2  2uv  v 2 )  0  3.(u  v ).(u  v) 2  0   u  vXét các trường hợp thay vào (1) ta dễ dàng tìm được x. 1 x2 3 2Bài 5:Gpt: 5 x  3 x  3 x  2    3 x (1). 22Giải:Từ (1) suy ra: 2. 5 x 3  3 x 2  3x  2  x 2  6 x  1 20 x 3  12 x 2  12 x  8  x 4  36 x 2  1  12 x 3  2 x 2  12 x 24 9 x 4  8 x 3  22 x 2  24 x  9  0 (x  0).  x 2  8 x  22   0.  x x2 3Đặt x   y (*) ta có: xy2 - 8y + 16 = 0 suy ra y = 4 thay vào (*) ta dễ dàng tìm được x. x 1Bài 6:Gpt: x  1.( x  4)  3.( x  4).  18  0(1). x4Giải: Điều kiện x > 4 hoặc x < -1.*Nếu x > 4, (1) trở thành:( x  1).( x  4)  3. ( x  1).( x  4)  18  0Đặt ( x  1).( x  4)  y  0 (2) ta có:y2 + 3y -18 = 0.Từ đó ta dễ dàng tìm được y,thay vào (2) ta tìm được x.*Nếu x < -1, (1) trở thành:( x  1).( x  4)  3. ( x  1).( x  4)  18  0Đặt ( x  1).( x  4)  y  0 (3) ta có:y2 - 3y -18 = 0.Từ đó ta dễ dàng tìm được y,thay vào (3) ta tìm được x.Bài 7:Gpt:(2x2 - 3x +1).(2x2 + 5x + 1)=9x2 (1).Giải:(1)  4 x 4  4 x 3  20 x 2  2 x  1  0 (x  0).Chia cả hai vế cho x2 ta được : 2 1 1 21 1   2 4x + 4x -20 +  2 = 0.   2 x    2. 2 x    24  0 . Đặt y = 2 x  .(2) xx x x x  Ta có: y2 + 2y -24 = 0.Từ đó ta tìm được y,thay vào (2) ta dễ dàng tìm được x.Bài 8:Gpt: x 2  16 x  64  2. x 2  8 x  16  x 2  0.Giải:PT  x  8  2. x  4  x  0. - + x 0 4 8 x-8 - - -0 + x-4 - -0 + + x - 0 + + +Đến đây ta xét từng khoảng ,bài toán trở nên đơn giản.Bài 9:Gpt: (1 + x + x2)2 = 5.(1 + x2 + x4).Giải: 1  x 2  x 4  2 x  2 x 2  2 x 3  5  5x 2  5 x 4 4 x 4  2 x 3  2 x 2  2 x  4  0  2 x 4  x3  x 2  x  2  0Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho, vậy x  0.Chia cả hai vế của phương trình trên cho x2 ta được: 12 12x2 - x + 1 -  2  0 . Đặt y = x  (*). Ta có: xx x2y2 - y - 3 = 0.Từ đó ta dễ dàng tìm được y, thay vào (*) ta tìm được x.Bài 10: Gpt: (6-x)4 + (8-x)4 = 16.Giải:Đặt 7 - x = y (*).Ta có: (y-1)4 + (y + 1)4 =16  2y4 +12 y2 +2 = 16  2.(y-1).(y+1).(y2+7)=0  y =1hoặc y = -1.Thay các giá trị của y tìm được ở trên thay vào (*) ta dễ dàng tìm được các giá trịcủa x.II.Tìm các nghiệm nguyên (x;y) hoặc (x;y;z) của các phương trình sau:Bài 1: x2 = y.(y+1).(y+2).(y+3)Giải:Đặt y2 + 3y = t.Ta có: x2 = y.(y+1).(y+2).(y+3) = (y2 + 3y).(y2 + 3y +2) = t2 + 2t.*Nếu t > 0 thì t2 < x2 = t2 + 2t < (t+1)2 suy ra không tồn tại x thỏa mãn.*Nếu t < -2 thì 2t + 4 < 0 nên t2 + 2t > t2 + 4t + 4 suy ra t2 + 2t > t2 + 4t + 4 =(t+2)2.Suy ra: x2 = t2 + 2t > (t + 2)2 (*).Lại có: t2 +2t < t2 suy ra x2 < t2 (**).Từ (*)&(**) suy ra (t + 2)2 < x2 < t2 suy ra x2 = (t+1)2 suy ra t2 +2t = (t +1)2 (=x2)Suy ra : t2 +2t = t2 +2t +1 (Vô lý).*Nếu t = -1 suy ra x2 = t2 +2t = -1  x  y  z  2(1)Bài 2:  2 2 x  xy  x  2 z  1(2)Giải:Từ ( ...