Chuyên đề: Bất đẳng thức Hình học

Chuyên đề "Bất đẳng thức Hình" học được biên soạn với các nội dung: Bất đẳng thức hình học trong mặt phẳng, bất đẳng thức hình học trong không gian, thiết diện, phương pháp chứng minh chung trong các bài bất đẳng thức hình học trong không gian. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung chuyên đề.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chuyên đề: Bất đẳng thức Hình họcChuyên đ b t đ ng th c hình h cNhóm 5PH N I: B T Đ NG TH C HÌNH H C TRONG M TPH NG.BÀI 1: PHƯƠNG PHÁP KÉO THEOI . Sơ lư c v phương pháp kéo theo:Xu t phát t các b t đ ng th c đã bi t, v n d ng các tính ch t c a b t đ ng th c đ suyra b t đ ng th c c n ch ng minh. Sau đây là các ví d :VdS ABC1: Cho tam giác ABC,11≤ AB. AC ; S ABC ≤ BM . AC22MAC.thu cCh ngminhr ng:Gi i:BMACHG i BH là đư ng cao c a tam giác ABC ⇒ BH ≤ AB11S ABC = BH . AC ≤ AB. AC2211M ∈ BC ⇒ BH ≤ BM ⇒ S ABC = BH . AC ≤ BM . AC22B t đ ng th c đư c ch ng minh xong.Vd2: Cho tam giác ABC, AM là trung tuy n. Ch ng minh: AM ≤BCthì BAC ≥ 90o và2ngư c l i.Gi i:BAMCD3Chuyên đ b t đ ng th c hình h cNhóm 5a) Gi s BAC < 90o .G i D là đi m đ i x ng c a A qua M. Suy ra AD=2AM. M là trung đi m hai đo n th ngBC và AD.⇒ AB = DC & AB / / DC ⇒ BAC + ACD = 180O mà BAC < 90o⇒ ACD > 90O ⇒ BAC < ACDXét tam giác ABC và tam giác CDB có: AB=DC, BC là c nh chung, BAC < ACDBCDo đó: BC(Vô lí).2⇒ BAC ≥ 90oVd 3: Cho t giác l i ABCD sao cho AB c t CD t i E, AD c t BC t i F, và E,F,C cùngthu c n a m t ph ng có b BD. Đ t AED = α , AFB = β ; và S ABCD = S . Ch ng minhr ng: AB.CD.sin α + AD.BC.sin β ≤ 2 S ≤ AB.CD + AD.BC .Gi i:FβDPβCKEααBA ABF > αD th y:  ACE > β BK / / DE* Trong ∆ABD ta l y đi m K sao cho  DK / / BF11T đó ta có S ACK + S ADK ≤ S ⇒ AB.BK .sin α + AD.DK .sin β ≤ S22⇔ AB.BK .sin α + AD.DK .sin β ≤ 2 S(1)D th y DKBC là hình bình hành. BK = CD(2) BC = DKThay (2) vào (1) ta có:AB.CD.sin α + AD.BC.sin β ≤ 2 S(1)4Chuyên đ b t đ ng th c hình h cNhóm 5 DP = BC* Trong n a m t ph ng có b là BD ta l y đi m P sao cho . BP = CDD th y11S ABCD = S ABPD = S ADP + S ABP = AD.DP sin ADP + BA.BP.sin ABP2211≤ AD.DP + BA.BP22⇔ 2 S ≤ AB.CD + AD.BCV y AB.CD sin α + AD.BC.sin β ≤ 2 S ≤ AB.CD + AD.BC*M t s ki n th c thư ng dùng đ gi i tóan c c tr trong m t ph ng:- S d ng quan h gi a đư ng vuông góc và đư ng xiên, hình chi u.- Trong các tam giác vuông (có th suy bi n thành đo n th ng) có c nh góc vuông AH vàc nh huy n AB thì AH ≤ AB . X y ra d u b ng khi H ≡ B .- Trong các đo n th ng n i t đi m đ n đư ng th ng, đo n nào vuông góc v i đư ngth ng là đo n th ng có đ dài nh nh t.- Trong các đo n th ng n i 2 đi m thu c hai đư ng th ng song song, đo n th ng vuônggóc v i hai đư ng th ng song song có đ dài ng n nh t.- Trong hai đư ng xiên k t 1 đi m đ n cùng m t đư ng th ng, đư ng xiên l n hơn khivà ch khi hình chi u c a nó l n hơn.- M t t giác l i b ch a trong m t t giác khác (không nh t thi t là l i) thì chu vi c a tgiác b ch a s nh hơn chu vi c a t giác ch a nó bên trong.- Đ dài đo n th ng n m trong m t đa giác l i không l n hơn đ dài đư ng chéo l nnh t..- Trong t t c các dây cung qua m t đi m cho trư c trong m t đư ng tròn thì dây cung cóđ dài nh nh t là dây cung vuông góc v i đo n th ng n i tâm đư ng tròn v i đi m đó.- Trong các tam giác có cùng chu vi thì tam giác đ u có di n tích l n nh t.- M t đư ng th ng có th c t nhi u nh t hai c nh c a m t tam giác.(nguyên t cDirichlet).* M t s ví d :Vd1: Cho đo n th ng AB có đ dài 2a. V v m t phía c a AB các tia Ax và By vuônggóc v i AB. Qua trung đi m M c a AB có 2 đư ng th ng thay đ i luôn vuông góc v inhau và c t Ax, By l n lư t t i C,D. Xác đ nh v trí c a các đi m C,D sao cho ∆MCD códi n tích nh nh t. Tính di n tích đó.Gi i:D1H2CaAMB5Chuyên đ b t đ ng th c hình h cNhóm 5G i K là giao đi m c a CM và DB,∆MAC = ∆MBK ( gcg ) ⇒ MC = MK∆DCK cân ⇒ D1 = D2K MH ⊥ CD Do M thu c phân giác góc D nên MH=MB=a.1S MCD = CD.MH .2Do CD ≥ AB = 2a & MH = a nên:1S MCD ≥ 2a.a = a 2 ⇒ CD ⊥ Ax . Các đi m C,D đư c xác đ nh trên Ax, By sao cho2AC=BD=a1CP.MH . Sau khi ch ng minh MH không2đ i, ta th y SMCD nh nh t khi và ch khi CD nh nh t.- N u bài toán trên không cho M là trung đi m AB thì ta ph i gi i quy t ra sao?* Trong l i gi i trên, SMCD đư c bi u th b iDCαAaMbB1MC.MD, MAC = MDB = α (cùng ph BMD )2ab⇒ MC =, MD =nêncosαsin α1abS MCD =2 sin α cos αDo a,b,c là h ng s nên SMCD nh nh t khi và ch khi 2 sin α cosα l n nh t.2 sin α cos α ≤ sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ S MCD ≥ abS MCD =min SMCD = ab ⇔ sin α = cos α ⇔ tan α = 1 ⇔ α = 45o⇒ Các đi m C,D trên Ax, By đư c xác đ nh sao cho AC=AM, BD=BMĐây đư c xem là bài toán t ng quát.Vd 2: Cho ∆ABC có B là góc tù, D di đ ng trên BC. Xác đ nh v trí c a D sao cho t ngcác kh ang cách t B và t C đ n đư ng th ng AD có giá tr l n nh t.6Chuyên đ b t đ ng th c hình h cNhóm 5Gi i:A111EAH .BC = BE. AD + CF . AD2222SBD⇒ BE + CF = ABC .Dođó HAD( BE + CF ) max ⇔ AD minAD nh nh t khi và ch khi hình chi u HD nh nh t. HD ≥ HB và HD=HB khi D ≡ BSuy ra đpcm.Ta có : S ABC =CFVd3: Cho tam giác ABC vuông có đ dài c nh góc vuông AB=6cm, AC=8cm. M là ...