Mời các bạn cùng tham khảo Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi: Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất sau đây để bổ sung các kiến thức hữu ích cho môn học. Đây là tài liệu tham khảo hữu ích cho các em học sinh cũng như các thầy cô giáo dạy bộ môn. Tham khảo nội dung tài liệu để nắm bắt nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi: Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhấtBồidưỡnghọcsinhgiỏiCHUYEÂNÑEÀ:CAÙCPHÖÔNGPHAÙPTÌMGIAÙTRÒLÔÙNNHAÁT, GIAÙTRÒNHOÛNHAÁTI. KHÁINIỆMVỀ GIÁTRỊ LỚNNHẤTVÀGIÁTRỊ NHỎ NHẤTCỦAMỘTBIỂU THỨC:Chobiểuthức F ( x1 , x 2 ,..., x n ) vớicácbiến x1 , x 2 ,..., x n thoảmãnđiềukiệnD.TanóiM(Mphảilàhằngsốlàgiátrịlớnnhất(giátrịnhỏnhất) củabiểuthứcFkhivàchỉkhinóthỏamãnhaiđiềukiện sau:+)Bấtđẳngthức F ( x1 , x 2 ,..., x n ) M ( F ( x1, x 2 ,..., x n ) M ) đúngvớimọi x1 , x 2 ,..., x n thỏamãnD.+)Tồntại ( x1 , x 2 ,..., x n ) thỏamãnDsaocho F ( x1 , x 2 ,..., x n ) = M .II.CÁCPHƯƠNGPHÁPTÌMGIÁTRỊLỚNNHẤT,GIÁTRỊNHỎNHẤT:1.PHƯƠNGPHÁPĐƯAVỀTỔNGBÌNHPHƯƠNG:A.Kiếnthứccầnnhớ:GiảsửcầntìmgiátrịlớnnhấtvàgiátrịnhỏnhấtcủabiểuthứcP.TabiếnđổiPvềdạng P = αA 2m + β B2n + γC2p + D ,trongđó α, β, γ cùngdấuvàDcógiátrịkhôngđổi.+)Nếu α, β, γ khôngâmthì P D .TacóminP=Dnếutồntạidấuđẳngthức A 2m = B2n = C2p = 0 .+ ) Nếu α, β, γ không dương thì P D . Ta có max P = D nếu tồn tại dấu đẳng thức A 2m = B2n = C2p = 0 .B.Cácvídụ:Ví dụ 1.1: Cho các số thực x, y thoả mãn x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x 3 + y3 + 2xy .Giải:Tacó: A = x 3 + y3 + 2xy = ( x + y ) − 3xy ( x + y ) + 2xy . 3Theogiảthiếtx+y=2,tacóy=2–xnênA = 23 − 6x ( 2 − x ) + 2x ( 2 − x ) = 4x 2 − 8x + 8 = 4 ( x − 1) + 4 4, ∀x R . 2Dấubằngxảyra x–1=0 x=1 y=1.VậygiátrịnhỏnhấtcủaAlà4khix=1,y=1.Vídụ1.2:Chocácsốthựcx,ythoảmãnx+y+4=0.Tìmgiátrịlớnnhấtcủabiểuthức: ( 3 ) ( 3 2 2 ) A = 2 x + y + 3 x + y + 10xy .Giải: ( ) ( )Tacó: A = 2 x 3 + y3 + 3 x 2 + y 2 + 10xy = 2 ( x + y ) − 6xy ( x + y ) + 3 ( x + y ) − 6xy + 10xy 3 2 = 28xy − 80 = 28x ( −4 − x ) − 80 = −28 ( x 2 + 4x + 4 ) + 3 = −28 ( x + 2 ) + 32 32, ∀x R . 2Dấubằngxảyra x+2=0 x=–2 y=–2.VậygiátrịlớnnhấtcủaAlà32khix=–2,y=–2.Vídụ1.3:Tìmgiátrịnhỏnhấtcủacácbiểuthức:a) A = x 2 + 4y 2 − 4x + 32y + 2078 b) B = 3x 2 + y 2 + 4x − y .Giải:a)Tacó: A = x + 4y − 4x + 32y + 2078 = x − 4x + 4 + 4 y + 8y + 16 + 2010 2 2 2 2 ( ) = ( x − 2 ) + 4 ( y + 4 ) + 2010 2010 2 2 �x − 2 = 0 �x = 2A = 2010 �� � � . �y + 4 = 0 �y = −4VậygiátrịnhỏnhấtcủaAlà2010khix=2,y=–4. 2 2 2 � � 1 � 19 19b)Tacó: B = 3x 2 + y 2 + 4x − y = 3 � �x + �+ �y − �− − , ∀x, y R . � 3 � � 2 � 12 12 1Bồidưỡnghọcsinhgiỏi � 2 � 2 �x+ =0 �x=− 19 � 3 � 3 19 2 1 B = − �� � � .VậygiátrịnhỏnhấtcủaBlà − khi x = − , y = . 12 �y − 1 = 0 �y = 1 12 3 2 � 2 � 2Nhậnxét.Xétbiểuthứcbậchaicủax,ynhưngcácbiếnkhôngràngbuộc 2 2 c � � d � c2 d 2 f ( x, y ) = ax + by + cx + dy + e = a � 2 2 �x + + � �b y + � + e − − ...
