Chuyên đề nâng cao Đại số lớp 7

Mời các em tham khảo Chuyên đề nâng cao Đại số lớp 7 để tích lũy thêm kiến thức và phương pháp giải bài tập về dãy số mà các số hạng cách đều, dãy số mà các số hạng không cách đều. Chúc các em học tập tốt!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chuyên đề nâng cao Đại số lớp 7Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website : http://congdonggiasu.edu.vn - Nơi tìm kiếm lớp gia sư, tìm gia sư miễn phítốt nhất Việt NamCHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO ĐẠI SỐ LỚP 7DẠNG 1: DÃY SỐ MÀ CÁC SỐ HẠNG CÁCH ĐỀU.Bài 1: Tính B = 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99Nhận xét: Nếu học sinh nào có sự sáng tạo sẽ thấy ngay tổng: 2 + 3 + 4 + ... + 98 + 99 cóthể tính hoàn toàn tương tự như bài 1, cặp số ở giữa vẫn là 51 và 50, (vì tổng trên chỉ thiếu số 100)vậy ta viết tổng B như sau:B = 1 + (2 + 3 + 4 + ... + 98 + 99). Ta thấy tổng trong ngoặc gồm 98 số hạng, nếu chia thànhcác cặp ta có 49 cặp nên tổng đó là: (2 + 99) + (3 + 98) + ... + (51 + 50) = 49.101 = 4949, khi đó B= 1 + 4949 = 4950Lời bình: Tổng B gồm 99 số hạng, nếu ta chia các số hạng đó thành cặp (mỗi cặp có 2 sốhạng thì được 49 cặp và dư 1 số hạng, cặp thứ 49 thì gồm 2 số hạng nào? Số hạng dư là baonhiêu?), đến đây học sinh sẽ bị vướng mắc.Ta có thể tính tổng B theo cách khác như sau:Cách 2:B = 1 + 2 + 3 + ... + 97 + 98 + 99+B = 99 + 98 + ... + 3 + 2 + 12B = 100 + 100 + ... + 100 + 100 + 1002B = 100.99  B = 50.99 = 4950Bài 2: Tính C = 1 + 3 + 5 + ... + 997 + 999Lời giải:Cách 1: Từ 1 đến 1000 có 500 số chẵn và 500 số lẻ nên tổng trên có 500 số lẻ. Áp dụng cácbài trên ta có C = (1 + 999) + (3 + 997) + ... + (499 + 501) = 1000.250 = 250.000 (Tổng trên có 250cặp số)Cách 2: Ta thấy:1= 2.1-13= 2.2-15= 2.3-1999 = 2.500 -1...Quan sát vế phải, thừa số thứ 2 theo thứ tự từ trên xuống dưới ta có thể xác định được số các sốhạng của dãy số C là 500 số hạng.Áp dụng cách 2 của bài trên ta có:C = 1 + 3 + ... + 997 + 999+C = 999 + 997 + ... + 3 + 12C = 1000 + 1000 + ... + 1000 + 10002C = 1000.500  C = 1000.250 = 250.000Bài 3. Tính D = 10 + 12 + 14 + ... + 994 + 996 + 998Nhận xét: Các số hạng của tổng D đều là các số chẵn, áp dụng cách làm của bài tập 3 để tìmsố các số hạng của tổng D như sau:Ta thấy:10 = 2.4+ 212 = 2.5+ 214 = 2.6+ 2...998 = 2.498 + 2Tương tự bài trên: từ 4 đến 498 có 495 số nên ta có số các số hạng của D là 495, mặt khác ta lạithấy: 495 998  10 1 hay2số các số hạng = (số hạng đầu - số hạng cuối) : khoảng cách rồi cộng thêm 1Khi đó ta có:D = 10 + 12 + ... + 996 + 998+D = 998 + 996 + ... + 12 + 102D = 1008 + 1008 + ... + 1008 + 10082D = 1008.495  D = 504.495 = 249480Thực chất D (998  10)4952Qua các ví dụ trên , ta rút ra một cách tổng quát như sau: Cho dãy số cách đềuu 1, u 2, u 3,... u n (*), khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp của dãy là d,Khi đó số các số hạng của dãy (*) là: n un  u1 1 (1)dSn n(u1  un )(2)2Tổng các số hạng của dãy (*) làĐặc biệt từ công thức (1) ta có thể tính được số hạng thứ n của dãy (*) là:= u1 + (n - 1)dHoặc khi u1 = d = 1 thì S1 = 1 + 2 + 3 + ... + n n( n  1)2Bài 4. Tính E = 10,11 + 11,12 + 12,13 + ...+ 98,99 + 99,10unLời giảiTa có thể đưa các số hạng của tổng trên về dạng số tự nhiên bằng cách nhân cả hai vế với 100,khi đó ta có:100E = 1011 + 1112 + 1213 + ... + 9899 + 9910 = (1011 + 1112 + 1213 + ... + 9899) + 9910(1011  9899).98 9910 = 485495 + 9910 = 495405 2E = 4954,05(Ghi chú: Vì số các số hạng của dãy là(9899  1011) 1  98 )101Bài 5. Phân tích số 8030028 thành tổng của 2004 số tự nhiên chẵn liên tiếp.Lời giảiGọi a là số tự nhiên chẵn, ta có tổng của 2004 số tự nhiên chẵn liên tiếp là: a  (a  4006) S = a + (a + 2) + ... + (a + 4006) =  .2004  ( a  2003).2004 . Khi đó ta có:2(a + 2003).2004 = 8030028  a = 2004.Vậy ta có: 8030028 = 2004 + 2006 + 2008 + ... + 6010Nhận xét:Sau khi giải quyết các bài toán ở dạng trên ta không thấy có vướng mắc gì lớn, bởi vì đó là toànbộ những bài toán cơ bản mà đối với học sinh khá cũng không gặp mấy khó khăn khi tiếp thu. Tuynhiên đó là các cơ sở đầu tiên để từ đó chúng ta tiếp tục nghiên cứu các dạng toán ở mức độ caohơn, phức tạp hơn một chút.DẠNG 2: DÃY SỐ MÀ CÁC SỐ HẠNG KHÔNG CÁCH ĐỀU.Bài 1. Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n + 1)Lời giảiTa thấy mỗi số hạng của tổng trên là tích của hai số tự nhên liên tiếp, khi đó:Gọi a1 = 1.2  3a1 = 1.2.3  3a1= 1.2.3 - 0.1.2a2 = 2.3  3a2 = 2.3.3  3a2= 2.3.4 - 1.2.3a3 = 3.4  3a3 = 3.3.4  3a3 = 3.4.5 - 2.3.4…………………..an-1 = (n - 1)n  3an-1 =3(n - 1)n  3an-1 = (n - 1)n(n + 1) - (n - 2)(n - 1)nan = n(n + 1)  3an = 3n(n + 1)  3an = n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1)Cộng từng vế của các đẳng thức trên ta có:3(a1 + a2 + … + an) = n(n + 1)(n + 2)3 1.2  2.3  ...  n ( n  1)  = n(n + 1)(n + 2)  A =n(n  1)(n  2)3Cách 2: Ta có3A = 1.2.3 + 2.3.3 + … + n(n + 1).3 = 1.2.(3 - 0) + 2.3.(3 - 1) + … +- 1)] = 1.2.3 - 1.2.0 + 2.3.3 - 1.2.3 + … + n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2)  A =n( n  1)( n  2)3* Tổng quát hoá ta có:k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = 3k(k + 1). Trong đó k = 1; 2; 3; …Ta dễ dàng chứng minh công thức trên như sau:k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = k(k + 1)[(k + 2) - (k - 1)] = 3k(k + 1)Bài 2. Tính B = 1.2.3 + 2.3.4 + … + (n - 1)n(n + 1)Lời giảiÁp dụng tính kế thừa của bài 1 ta có:4B = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + … + (n - 1)n(n + 1).4= 1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + … + (n - 1)n(n + 1)(n + 2) [(n - 2)(n - 1)n(n + 1)] = (n - 1)n(n + 1)(n + 2) - 0.1.2.3 = (n - 1)n(n + 1)(n + 2) B=( n  1)n(n  1)(n  2)4Bài 3. Tính C = 1.4 + 2.5 + 3.6 + 4.7 + … + n(n + 3)Lời giảiTa thấy: 1.4 = 1.(1 + 3)2.5 = 2.(2 + 3)n(n + 1)[(n - 2) - (n3.6 = 3.(3 + 3)4.7 = 4.(4 + 3)…….n(n + 3) = n(n + 1) + 2nVậy C = 1.2 + 2.1 + 2.3 + 2.2 + 3.4 + 2.3 + … + n(n + 1) +2n= 1.2 + 2 +2.3 + 4 + 3.4 + 6 + … + n(n + 1) + 2n= [1.2 +2.3 +3.4 + … + n(n + 1)] + (2 + 4 + 6 + … + 2n)3C = 3.[1.2 +2.3 +3.4 + … + n(n + 1)] + 3.(2 + 4 + 6 + … + 2n) == 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + … + n(n + 1).3 + 3.(2 + 4 + 6 + … + 2n) == n(n + 1)(n + 2) +3(2n  2)nn(n  1)(n  2) 3(2n  2)n n(n  1)(n  5)= C=2323Bài 4. Tính D = 1 2 + 22 + 3 2 ...