Chuyên đề Phương trình nghiệm nguyên

Chuyên đề Phương trình nghiệm nguyên tóm tắt lý thuyết, các dạng bài tập thường gặp và một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên. Hy vọng đây là tài liệu tham khảo hữu ích cho bạn. Chúc bạn học tốt.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chuyên đề Phương trình nghiệm nguyên CHUYÊNĐỀ:PHƯƠNGTRÌNHNGHIỆMNGUYÊN PhÇn I: Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn A. Tãm t¾t lý thuyÕt.1.Sè 2 lµ sè nghuyªn tè ch½n duy nhÊt.2.Ph¬ng tr×nh ®îc ®a vÒ d¹ng f(x).g(x) = k víi f(x) vµ g(x) lµ c¸c ®a thøc hÖ sènguyªn. Ta ph©n tÝch k ra thõa sè nguyªn tè råi gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh. f ( x) = m víi m.n = k. g ( x) = n3.Ph¬ng tr×nh ®èi xøng c¸c Èn cña x, y, z.....Khi t×m nghiÖm nguyªn d¬ng ta cãthÓ gi¶ sö 1 ≤ x ≤ y ≤ z ≤ .....4.Kh«ng tån t¹i sè chÝnh ph¬ng n»m gi÷a hai sè chÝnh ph¬ng liªn tiÕp. B. c¸c d¹ng to¸n Thêng gÆp.D¹ng 1: Sö dông phÐp chia hÕt vµ chia cã d. Hai vÕ cña ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn khi chia cho cïng mét sè cã sèd kh¸c nhau th× ph¬ng tr×nh ®ã kh«ng cã nghiÖm nguyªn.VÝ dô 1: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh sau. x 2 = 2 y 2 (1) Gi¶i:Râ rµng x = y = 0 lµ nghiÖm cña (1). � y � xNÕu x0 , y0 0 vµ ( x0 , y0 ) lµ nghiÖm cña (1). Gäi d = ( x0 , y0 ) , suy ra � 0 , 0 � 1. = �d d � 2 2 2 x� � � � y x0 y � � x0Ta cã: x02 = 2 y02 � � 0 �= 2 � 0 �� ch½n 2 � 0 �M4 ch½n, v« lý. d � � d � � d d � � dVËy ph¬ng tr×nh (1) chØ cã nghiÖm nguyªn duy nhÊt lµ (0,0).VÝ dô 2: T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh sau. x 2 − 2 y 2 = 5 (1) Gi¶i:1)NÕu xM5 th× 2 y = ( x − 5) M5 �� 5 (x − 2 y 2 ) M25 v« lý. 2 2 2 yM / /2)NÕu x M5 th× tõ y M5 ta cã x 2 1(mod 5) vµ y 2 1(mod 5) suy ra x 2 − 2 y 2 1, 3(mod 5) .VËy ph¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm nguyªn.Chuyên đề ôn thi hsg toán THPT. 1VÝ dô 3: Chøng minh r»ng tæng b×nh ph¬ng cña ba sè nguyªn trong phÐpchia cho 8 kh«ng thÓ cã d lµ 7 tõ ®ã suy ra ph¬ng tr×nh 4 x 2 + 25 y 2 + 144 z 2 = 2007kh«ng cã nghiÖm nguyªn. Gi¶i:Gi¶ sö: x 2 + y 2 + z 2 = 7(mod 8) mµ x 0, 1, 2, 3 , 4(mod 8) nªn x 2 0,1, 4(mod 8) suy ra /y 2 + z 2 = 7, 6,3(mod 8) nhng y 2 + z 2 = 0,1, 2, 4,5, (mod 8) v« lý. VËy x 2 + y 2 + z 2 M7(mod 8)Ph¬ng tr×nh ®· cho cã thÓ viÕt: (2 x) 2 + (5 y ) 2 + (12 z ) 2 = 6 125 + 7 Tõ ®ã suy ra ph¬ngtr×nh kh«ng cã nghiÖm nguyªn.VÝ dô 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh sau trªn tËp sè nguyªn: x14 + x2 4 + .... + x7 4 = 2008. Gi¶i:1)NÕu x = 2k th× xM . 162)NÕu x = 2k + 1 th× x 4 − 1 = ( x − 1)( x + 1)( x 2 + 1)M v× ( x − 1)( x + 1)M vµ ( x 2 + 1)M2 . 16, 8VËy x 4 0;1(mod16) Do ®ã khi chia tæng x1 + x2 + .... + x7 cho 16 cã sè d kh«ng vît 4 4 4qu¸ 7, trong khi ®ã 2008 8(mod16) . Suy ra ph¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm nguyªn.D¹ng 2: Ph¬ng ph¸p ph©n tÝch.T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: a( x+ y ) + b = cxy ( víi a, b, c ∈ Z ) (1) a a2Ta cã: (1) � cxy − −ay = b � y (cx − a ) − (cx − a ) = +b c c � (cx − a )(cy − a ) = a 2 + bc. cx − a = mPh©n tÝch a 2 + bc = m.n víi m, n ∈ Z, sau ®ã lÇn lît gi¶i c¸c hÖ: cy − a = nVÝ dô 1: T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh: 2( x + y ) + 16 = 3xy Gi¶i:Ta cã: 2( x + y ) + 16 = 3xy � 3xy − 2 x − 2 y = 16 2 4 � y (3x − 2) − (3 x − 2) = 16 + � (3 x − 2)(3 y − 2) = 52 3 3Gi¶ sö: x y khi ®ã 1 3x − 2 3 y − 2 vµ 52 = 1.52 = 2.26 = 4.13 ta cã c¸c hÖ sau: 3x − 2 = 1 3x − 2 = 2 3x − 2 = 4 ; ; ; 3 y − 2 = 52 ...