Đa thức nội suy cổ điển và một số ứng dụng

Báo viết "Đa thức nội suy cổ điển và một số ứng dụng" trình bày một số ứng dụng của đa thức nội suy Lagrange, đa thức nội suy Newton trong việc phân tích biểu thức để tìm nguyên hàm của hàm số phân thức hữu tỉ và tính tổng hữu hạn. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung bài viết!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đa thức nội suy cổ điển và một số ứng dụng Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 ĐA THỨC NỘI SUY CỔ ĐIỂN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Hoàng Văn Thi, Sở GD& ĐT Thanh Hóa Lê Văn Tiến, Trường THPT Yên Định 2, Thanh Hóa Tóm tắt nội dung Trong chương trình môn Toán bậc phổ thông, có những bài toán rất quen thuộc như bài toán tính tổng hữu hạn, bài toán tìm nguyên hàm và tính tích phân của hàm số phân thức hữu tỉ,. . . Việc giải các bài toán này hoàn toàn có thể ứng dụng các kiến thức của một số đa thức nội suy cổ điển. Báo cáo này, trình bày một số ứng dụng của đa thức nội suy Lagrange, đa thức nội suy Newton trong việc phân tích biểu thức để tìm nguyên hàm của hàm số phân thức hữu tỉ và tính tổng hữu hạn. 1 Một số đa thức nội suy cổ điển 1.1 Đa thức nội suy Lagrange Bài toán mở rộng 1.1 (Bài toán nội suy Lagrange). Cho các số thực xi , ai , với xi 6= x j , với ∀i 6= j (i, j = 1, 2, . . . , N ). Hãy xác định đa thức L ( x ) có bậc deg L ( x ) ≤ N − 1 và thỏa mãn điều kiện L ( xi ) = ai , ∀i = 1, 2, · · · , N. (1.1) Tính chất 1.1 (Đa thức nội suy Lagrange). Kí hiệu N x − xj Li ( x ) = ∏ xi − x j ; i = 1, 2, · · · , N. j=1,j6=i N Khi đó, đa thức L( x ) = ∑ ai .Li ( x ) là đa thức duy nhất thỏa mãn điều kiện của bài i =1 toán nội suy Lagrange và đa thức này được gọi là đa thức nội suy Lagrange. Chứng minh. Dễ dàng nhận thấy 
1 khi i = j Li x j = 0 khi i 6= j
hay Li x j = δij , và deg L( x ) N − 1. Mặt khác N N L ( xi ) = ∑ a j L j ( xi ) = ∑ a j δij , j =1 j =1 1 Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 hay L ( xi ) = ai , ∀i = 1, 2, . . . , N. Hoàn toàn chứng minh được, nếu có đa thức L∗ ( x ), mà có bậc deg L∗ ( x ) với deg L∗ ( x ) N − 1 cũng thỏa mãn điều kiện của bài toán thì khi đó đa thức P( x ) = L( x ) − L∗ ( x ) cũng có bậc deg P( x ) N − 1 và thoả mãn P ( xi ) = 0, ∀i = 1, 2, . . . , N, tức là P ( x ) là đa thức có bậc deg P( x ) N − 1 mà lại có ít nhất N nghiệm phân biệt x1 , x2 , . . . , x N nên P( x ) ≡ 0. Do đó L( x ) = L∗ ( x ). Vậy bài toán được chứng minh. Bài toán 1.1. Cho a1 , a2 , . . . , an là n số đôi một khác nhau và deg f ( x ) ≤ n − 1/ Khi đó ta có thể phân tích f (x) A1 A2 An = + +...+ . ( x − a1 ) ( x − a2 ) . . . ( x − a m ) x − a1 x − a2 x − an trong đó A1 , A2 , . . . , An là các hằng số thích hợp. Lời giải. Áp dụng đa thức nội suy Lagrange tại các mốc nội suy ak , k = 1, n, ta có ( x − a2 ) ( x − a3 ) . . . ( x − a n ) f ( x ) = f ( a1 ) ( a1 − a2 ) ( a1 − a3 ) . . . ( a1 − a n ) ( x − a1 ) ( x − a3 ) . . . ( x − a n ) + f ( a2 ) ( a2 − a1 ) ( a2 − a3 ) . . . ( a2 − a n ) ( x − a 1 ) ( x − a 2 ) . . . ( x − a n −1 ) + . . . + f ( an ) . ( a n − a 1 ) ( a n − a 2 ) . . . ( a n − a n −1 ) Khi đó f (x) f ( a1 ) 1 = . ( x − a1 ) ( x − a2 ) . . . ( x − a n ) ( a1 − a2 ) ( a1 − a3 ) . . . ( a1 − a n ) ( x − a1 ) f ( a2 ) 1 + . +... ( a2 − a1 ) ( a2 − a3 ) . . . ( a2 − a n ) ( x − a2 ) ...