Đa thức nội suy Newton và ứng dụng giải bài toán tính tổng hữu hạn

Trong bài viết, tác giả đã trình bày các lý thuyết cơ bản về đa thức nội suy Newton. Trên cơ sở đó, tác giả chứng minh một kết quả liên quan đến đa thức nội suy Newton, là cơ sở lý thuyết để có thể giải một lớp các bài tập tính tổng hữu hạn. Tác giả cũng trình bày các ví dụ điển hình minh họa ứng dụng của kết quả chứng minh đó.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đa thức nội suy Newton và ứng dụng giải bài toán tính tổng hữu hạn KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUI SỐ 55/2021ĐA THỨC NỘI SUY NEWTON VÀ ỨNG DỤNG GIẢI BÀI TOÁN TÍNH TỔNG HỮU HẠN Nguyễn Thanh Huyền1,* 1 Khoa Khoa học Cơ bản, trường Đại học Công nghiệp Quảng Ninh * Email: thanhhuyen1107@gmai.com Mobile: 0799242995 Tóm tắt Từ khóa: Trong bài báo, tác giả đã trình bày các lý thuyết cơ bản về đa thức nội suy Đa thức; Nội suy Newton; Newton. Trên cơ sở đó, tác giả chứng minh một kết quả liên quan đến đa thức nội Sai phân; Tổng hữu hạn; Tỉ suy Newton, là cơ sở lý thuyết để có thể giải một lớp các bài tập tính tổng hữu hiệu. hạn. Tác giả cũng trình bày các ví dụ điển hình minh họa ứng dụng của kết quả chứng minh đó.1. GIỚI THIỆU yi  y j Tỷ số f [xi , x j ]  được gọi là tỷ hiệu cấp Đa thức nội suy là bài toán quan trọng của đại xi  x jsố và giải tích, nó đóng vai trò như một công cụ đắc một của hàm y  f ( x) tại xi , x jlực của các mô hình rời rạc cũng như mô hình liêntục. Trong đó, đa thức nội suy Newton có khá nhiều f [ xi, x ]  f [ x x ] Tỷ số f [x , x ,x ]  j j, k đượcứng dụng lý thú, nó ẩn trong các bài toán về tính i j k xi  xgần đúng, tính tổng, tìm số hạng tổng quát của dãy ksố. gọi là tỷ hiệu cấp hai của hàm y  f ( x) tại xi , x j , xk Bài toán tính tổng là một bài toán hóc búa Tỷ hiệu cấp n được định nghĩa thông qua tỷthách thức những người yêu Toán. Trong bài viết hiệu cấp (n - 1).này, tác giả bài viết đã chứng minh một kết quả liên Tính chất 1[2]:quan đếnmột lớp bài toán tính tổng,từ đó, người Tỉ hiệu cấp kcủa một đa thức bậc mcó tínhlàm toán có cơ sở lý thuyết để giải các bài toán chất:khác một cách đơn giản, chặt chẽ. - Nếu k=m thì tỷ hiệu là hằng số.2. NỘI DUNG - Nếu k>m thì tỉ hiệu bằng 0.2.1. Định nghĩavà tính chất Định nghĩa 3. Đa thức nội suy NiutơnĐịnh nghĩa 1[1]: Cho hàm số y  f ( x) , Từ tỉ hiệu cấp 1 của f ( x) tại x, x0 ta có: f ( xi )  yi (i  0, m); x i  x j , i, j  0, m) . Xây dựng f ( x)  f ( x0 )đa thức bậc không quá m f [ x, x0 ]   f ( x)  f ( x0 )  ( x  x0 ) f [ x, x0 ] x  x0 Pm ( x)  am xm  a1 xm1  ...  a1 x  a0 sao cho Giả sử các nút nội suy xi cách đều, nghĩa là:Pm ( x) trùng với f ( x) tại các điểm xi , i  0, m . xm  x xi  x  ih (i  0, m); (h  0 ) gọi là bước nội Nghĩa là: Pm ( xi )  yi (i  0, m); 0 m Đa thức Pm ( x) xác định như trên được gọi là suy .đa thức nội suy của hàm f ( x) tại các nút nội Từ tỷ hiệu cấp 2 của f ( x) tại x, x0 , x1 ta có:suy xi , i  0, m . ...