Đại số 11: Chương 3 - Trần Sĩ Tùng

Tài liệu "Đại số 11: Chương 3 - Trần Sĩ Tùng" cung cấp kiến thức lý thuyết và đưa ra các dạng bài tập về dãy số-cấp số. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu nhằm kiểm tra, củng cố kiến thức cũng như hỗ trợ ôn tập đạt hiệu quả.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đại số 11: Chương 3 - Trần Sĩ TùngĐại số 11Trần Sĩ TùngCHƯƠNG III DÃY SỐ – CẤP SỐI. Phương pháp qui nạp toán học Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương n, ta thực hiện như sau: · Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1. · Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương n = k tuỳ ý (k ³ 1), chứng minh rằng mệnh đề đúng với n = k + 1. Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề A(n) là đúng với với mọi số nguyên dương n ³ p thì: + Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p; + Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương bất kì n = k ³ p và phải chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1. Baøi 1: Chứng minh rằng với mọi n Î N*, ta có: n(n + 1) a) 1 + 2 + … + n = 2 é n(n + 1) ù c) 1 + 2 + ... + n = ê ë 2 ú û n(n + 1)(n + 2) e) 1.2 + 2.3 + ... + n(n + 1) = 3 Baøi 2: Chứng minh rằng với mọi n Î N*, ta có:3 3 3 2b) 12 + 22 + ... + n2 =n(n + 1)(2n + 1) 6d) 1.4 + 2.7 + ... + n(3n + 1) = n(n + 1)2 f) 1 1 1 n + + ... + = 1.2 2.3 n(n + 1) n + 1a) 2 n > 2 n + 1 (n ³ 3) 1 1 1 c) 1 + + ... + < 2 - (n ³ 2) n 22 n2 1 1 e) 1 + + ... + 2 n + 5 1 3 2n - 1 1 d) . ... < 2 4 2n 2n + 1 1 1 1 13 f) + + ... + > n +1 n + 2 2 n 24(n > 1)b) n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3. d) n3 + 2n chia hết cho 3.f) 13n - 1 chia hết cho 6. n(n - 3) Baøi 4: Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là . 2 Baøi 5: Dãy số (an) được cho như sau: a1 = 2, an+1 = 2 + an Chứng minh rằng với mọi n Î N* ta có: an = 2 cos với n = 1, 2, …p2n +1.Trang 54Trần Sĩ Tùng II. Dãy số 1. Dãy sốĐại số 11u : ¥* ® ¡ Dạng khai triển: (un) = u1, u2, …, un, … n a u(n) 2. Dãy số tăng, dãy số giảm · (un) là dãy số tăng Û un+1 > un với n Î N*. u Û un+1 – un > 0 với n Î N* Û n+1 > 1 với n Î N* ( un > 0). un· (un) là dãy số giảmÛ un+1 < un với n Î N*.Û un+1 – un< 0 với n Î N* Ûun+1 < 1 với n Î N* (un > 0). un3. Dãy số bị chặn · (un) là dãy số bị chặn trên Û $M Î R: un £ M, n Î N*. · (un) là dãy số bị chặn dưới Û $m Î R: un ³ m, n Î N*. · (un) là dãy số bị chặn Û $m, M Î R: m £ un £ M, n Î N*. Baøi 1: Hãy viết 5 số hạng đầu của dãy số (un) cho bởi: 2n2 - 1 n + (-1)n b) un = a) un = 2n + 1 n2 + 1nc) un =n -1 n2 + 1d) Baøi 2: a) c)Baøi 3: Hãy viết 5 số hạng đầu của dãy số (un), dự đoán công thức số hạng tổng quát un và chứng minh công thức đó bằng qui nạp: a) u1 = 1, un+1 = 2un + 3 d) u1 = -1, un+1 = 2un + 1 ĐS: a) un = 2 n+1 - 3 d) un = -1 2n + 1 3n - 2 n2 + n + 12 2 b) u1 = 3, un+1 = 1 + unæ 1ö (n + 1)! e) un = n + cos2 n f) un = un = ç - ÷ è 3ø 2n Hãy viết 5 số hạng đầu của dãy số (un) cho bởi: 1 u1 = 2, un+1 = ( un + 1) b) u1 = 15, u2 = 9, un+ 2 = un - un+1 3 2 d) u1 = 1, u2 = -2, un+ 2 = un+1 - 2un u1 = 0, un+1 = 2 un + 1c) u1 = 3, un+1 = 2un e) u1 = u +1 5 , u n+1 = n 4 2e) u1 = 1, un+1 = un + 7 b) un = n + 8 e) un = 7n - 6 4n - 1 4n + 5c) un = 3.2 n-1 f) un = 2 n+1 + 1 2 n+1 c) un = f) un = (-1)n n+2 2-nBaøi 4: Xét tính tăng, giảm của các dãy số (un) cho bởi: a) un = d) un = b) un =n +1 n Baøi 5: Xét tính bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chặn của các dãy số (un) cho bởi: 2n + 3 1 a) un = b) un = c) un = n 2 + 4 n+2 n(n + 1) Trang 55e) un = n + cos2 nĐại số 11 d) un = n 2 + 2n n2 + n + 1 e) un = n n2 + 2n + n f) un = (-1)n cosTrần Sĩ Tùngp 2nIII. Cấp số cộng 1. Định nghĩa: (un) là cấp số cộng Û un+1 = un + d, n Î N* 2. Số hạng tổng quát: un = u1 + (n - 1)d với n ³ 2 3. Tính chất các số hạng: 4. Tổng n số hạng đầu tiên: uk = uk -1 + uk +1 2 với k ³ 2 n(u1 + un ) 2 = n é 2u1 + (n - 1)d ù ë û 2 (d: công sai)Sn = u1 + u2 + ... + un =Baøi 1: Trong các dãy số (un) dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng, khi đó cho biết số hạng đầu và công sai của nó: 3n + 2 c) un = n 2 a) un = 3n – 7 b) un = 5 7 - 3n n d) un = 3n e) un = f) un = - 1 2 2 Baøi 2: Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng, biết: ìu + u - u = 10 ìu + u - u = 10 ì u = -15 a) í 1 5 3 b) í 2 5 3 c) í 3 u1 + u6 = 17 u4 + u6 = 26 î î îu14 = 18 ì ìu - u = 8 ìu + u + u = -12 ïu + u = 60 d) í 7 3 e) í 7 15 f) í 1 3 5 2 2 u1u2 u3 = 8 ïu4 + u12 = 1170 î î u2 .u7 = 75 î Baøi 3: a) Giữa các số 7 và 35 hãy đặt thêm 6 số nữa để được một cấp số cộng. b) Giữa các số 4 và 67 hãy đặt thêm 20 số nữa để được một cấp số cộng. Baøi 4: a) Tìm 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, biết tổng của chúng là 27 và tổng các bình phương của chúng là 293. b) Tìm 4 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, biết tổng của chúng bằng 22 và tổng các bình phương của chúng bằng 66. Baøi 5: a) Ba góc của một tam giác vuông lập thành một cấp số cộng. Tìm số đo các góc đó. b) Số đo các góc của một đa giác lồi có 9 cạnh lập thành một cấp số cộng có công sai d = 30. Tìm số đo của các góc đó. c) Số đo các góc của một tứ giác lồi lập thành một cấp số cộng và góc lớn nhất gấp 5 lần góc nhỏ nhất. Tìm số đo các góc đó. Baøi 6: Chứng minh rằng nếu 3 số a, b, c lập thàn ...