Dãy truy hồi tuyến tính cấp một - Một mô hình toán học đơn giản của nhiều bài toán thực tế

Bài viết "Dãy truy hồi tuyến tính cấp một - Một mô hình toán học đơn giản của nhiều bài toán thực tế" trình bày các bài toán thực tế dẫn đến mô hình toán học là dãy truy hồi tuyến tính cấp một và ứng dụng dãy truy hồi tuyến tính cấp một trong giải toán cũng như trong giải các bài toán thực tế. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung bài viết!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Dãy truy hồi tuyến tính cấp một - Một mô hình toán học đơn giản của nhiều bài toán thực tế Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 DÃY TRUY HỒI TUYẾN TÍNH CẤP MỘT - MỘT MÔ HÌNH TOÁN HỌC ĐƠN GIẢN CỦA NHIỀU BÀI TOÁN THỰC TẾ Lê Đại Hải, Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội Mai Công Mãn, Sở Giáo dục và Đào tạo Thanh Hóa Tạ Duy Phượng, Cộng tác viên Viện Toán học Tóm tắt nội dung Bài viết trình bày các bài toán thực tế dẫn đến mô hình toán học là dãy truy hồi tuyếntính cấp một và ứng dụng dãy truy hồi tuyến tính cấp một trong giải toán cũng nhưtrong giải các bài toán thực tế.1. Từ các bài toán thực tế1.1. Sử dụng tài nguyên thiên nhiênVí dụ 1.1 (Thi học sinh giỏi Giải toán trên máy tính, Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội,Trung học Cơ sở, 2017). Dự báo với mức độ tiêu thụ dầu không đổi như hiện nay, trữlượng dầu sẽ hết sau 100 năm. Thay vì mức độ tiêu thụ dầu không đổi, do nhu cầu thựctế, mức tiêu thụ dầu năm sau tăng lên 5% so với năm trước. Hỏi sau bao nhiêu năm sốdầu dự trữ sẽ hết?Lời giải. Giả thiết rằng mức tiêu thụ dầu hàng năm như hiện nay là A đơn vị. Khi ấytrữ lượng dầu là 100A. Nếu xn là lượng dầu sử dụng vào năm thứ n thì x1 = A. Với tỉ lệtăng 5%/năm thì x2 = 1.05x1 = 1.05A và xn = 1.05xn−1 = 1.052 xn−2 = · · · = 1.05n−1 x1 = 1.05n−1 A. Tổng lượng dầu sử dụng sau n năm là Sn = x1 + x2 + · · · + xn = A + 1.05A + · · · + 1.05n−1 A = (1 + 1.05 + · · · + 1.05n−1 ) A 1.05n − 1 1.05n − 1 = A= A. 1.05 − 1 0.05 Để xem lượng dầu sử dụng được bao lâu (với mức tăng hàng năm là 5%), ta cần xác 1.05n − 1định n để tổng lượng dầu bằng 100A, tức là A = 100A hay 1.05n = 100 × 0.05 + 0.051. 1 Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019 ln 6 Suy ra n = ≈ 36.72 ≈ 37 năm. ln 1.05 Lời bình Lượng tiêu thụ dầu hàng năm tăng theo cấp số nhân xn+1 = qxn . (1.1)Tổng lượng dầu tiêu thụ sau n năm chính là tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân, qn − 1 Sn = x1 + x2 + · · · + x n = x1 . (1.2) q−1Ví dụ này cho thấy, một mô hình toán học đơn giản nhất (cấp số nhân) cũng đã có thểdùng để phân tích những bài toán quan trọng của kinh tế.Ví dụ này cũng cho thấy tầm quan trọng của sự kiềm chế mức khai thác và sử dụng tàinguyên thiên nhiên như dầu mỏ, khí đốt, than đá,. . . Nhưng do nhu cầu tiêu thụ, quátrình khai thác tài nguyên thiên nhiên tăng 5%/năm là hoàn toàn thực tế. 1.2. Lạm phát Lạm phát xảy ra khi đồng tiền bị mất giá. Tỉ lệ phần trăm tăng lêntrong chỉ số giá bán lẻ trong một năm được gọi là tỉ lệ lạm phát của năm. Ví dụ, khi nói tỉlệ lạm phát là 3%/năm, nghĩa là ta cần 1.03 đô-la khi mua một vật trị giá là 1 đô-la trướcđây một năm (giả thiết vật cũ vẫn giữ nguyên giá). Với tỉ lệ lạm phát là 3%/năm thì x1 = 1.03x0 , x2 = 1.03x1 = 1.032 x0 , . . . , xn = 1, 03n x0 .Sau 20 năm ta muốn mua một vật trị giá lúc đầu là 1000 đô-la thì cần số tiền là: 3 20 x20 = (1 + ) × 1000 ≈ 1806, 111235 ≈ 1806 đô-la. 100 Ta đã sử dụng công thức tính số hạng thứ n của cấp số nhân xn = (1 + r%) xn−1 = (1 + r%)n x0với r = 3%, x0 = 1000 và n = 20.Mặc dù tỉ lệ lạm phát r = 3% là bình thường trong thực tế, sau một thời gian dài giá trịđồng tiền bị mất giá một cách đáng kể. Ví dụ, với tỉ lệ lạm phát vẫn là 3%/năm, hỏi saubao lâu thì giá trị đồng tiền chỉ còn một nửa? Để trả lời câu hỏi này ta cần tìm n sao cho 3 n x n = (1 + ) x0 = 2x0 . 100 ln 2Vậy n = ≈ 23.44, tức là, sau khoảng 24 năm, ta cần 2 đô-la để mua một vật trị giá ln 1.03lúc đầu là 1 đô-la (với giả thiết vật sau 20 vẫn giữ nguyên giá như ban đầu).1.3. Phân rã chất phóng xạ Chất có chứa chất phóng xạ (quặng có chứa chất radium,. . . ) thường xuyên phát ramột lượng chất phóng xạ và do đó lượng chất phóng xạ có trong chất ấy bị giảm dần.Thời gian mà chất phóng xạ giảm chỉ còn một nửa được gọi là chu kì bán rã.Giả sử xn là ...