Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 12 năm 2022-2023 - Sở GD&ĐT Quảng Nam (Đợt 1)

Nhằm đánh giá lại thực lực học tập của các em học sinh trước khi tham dự kì thi HSG sắp tới. Mời các em học sinh và giáo viên cùng tham khảo "Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 12 năm 2022-2023 - Sở GD&ĐT Quảng Nam (Đợt 1)" để tích lũy kinh nghiệm làm bài trước kì thi. Chúc các em thi tốt!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 12 năm 2022-2023 - Sở GD&ĐT Quảng Nam (Đợt 1) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT ĐỢT 1 TỈNH QUẢNG NAM NĂM HỌC 2022 – 2023 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN TOANMATH.com Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 07/10/2022Câu 1. (3,0 điểm)  x − y + x + y = y −1 − x 2 2Giải hệ phương trình:  ( x, y  ) . 2 x − 11y + 32 = 3. 4 y − 8  2 3Câu 2. (2,0 điểm) u1 = 2023  1 n ui2Cho dãy số ( un ) được xác định như sau:  2022un3 + 2022un . Tính lim  . =  n+1 2022u 2 − u + 2022 , n  n →+ 2n + 1 i =1 1 + ui * 2 u  n nCâu 3. (5,0 điểm)Cho đường tròn ( O ) và hai điểm A, B cố định nằm trên đường tròn ( O ) sao cho ba điểm O, A, B không thẳnghàng. Xét một điểm C trên đường tròn ( O ) sao cho tam giác ABC không cân tại C. Gọi ( O1 ) là đường trònđi qua A và tiếp xúc với BC tại C; ( O2 ) là đường tròn đi qua B và tiếp xúc với AC tại C. Hai đường tròn ( O1 )và ( O2 ) cắt nhau tại điểm thứ hai là D (D khác C).a) Tiếp tuyến của đường tròn ( O ) tại C cắt đường thẳng OD tại S. Chứng minh OA là tiếp tuyến của đườngtròn ngoại tiếp tam giác ADS.b) Chứng minh đường thẳng CD luôn đi qua một điểm cố định khi điểm C di động trên đường tròn ( O ) (tamgiác ABC không cân tại C).Câu 4. (2,0 điểm)a) Cho k là số nguyên lớn hơn 1. Chứng minh 2k −1 + 1 không chia hết cho k.b) Tìm tất cả các cặp số nguyên tố p và q thỏa mãn 2 p + 2q chia hết cho p.q.Câu 5. (3,0 điểm)  yTìm tất cả các hàm số f : → thỏa mãn: xf ( y ) − yf ( x ) = f   với mọi x, y  và x  0 .  xCâu 6. (2,0 điểm)Cho tập hợp X có 2023 phần tử. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách chọn hai tập hợp con khác nhau của X sao chogiao của hai tập hợp này là một tập hợp có đúng một phần tử?Câu 7. (3,0 điểm)Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện y2  zx , z 2  xy . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: z y 2022 z 2023P= + + 2023 2023 . z+ y y+x z +x  HẾT 