Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2012-2013 – Sở Giáo dục và Đào tạo Lào Cai

"Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2012-2013 – Sở Giáo dục và Đào tạo Lào Cai" là tài liệu bổ ích để các em ôn luyện và kiểm tra kiến thức tốt, chuẩn bị cho kì thi sắp tới.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2012-2013 – Sở Giáo dục và Đào tạo Lào CaiSỞGIÁODỤCVÀĐÀOTẠOLAOCAI ĐỀKIỂMTRAĐỘITUYỂNHỌCSINHGIỎILỚP12. TRƯỜNGTHPTCHUYÊN Môn:Toán.Thờigian:180phút TỔTOÁN–TIN (Khôngkểthờigiangiaođề) Câu1(3điểm):Chotrướchằngsốavàdãysốthực(xn)đượcxácđịnhnhưsau: x1 = a 1 . xn +1 = ln(1 + xn2 ) − 2004∀n N* 2 Chứngminhdãy(xn)hộitụ. x 2 + 21 = y − 1 + y 2 Câu2(3điểm):Giảihệphươngtrình: y 2 + 21 = x − 1 + x 2 Câu3(3điểm):Choa,b,clàcácsốdương.Chứngminhbấtđẳngthức: a 2 + b2 b2 + c 2 c 2 + a 2 3(a 2 + b 2 + c 2 ) + + a+b b+c c+a a+b+c Câu4(3điểm):ChohìnhthangABCDcóđáyABvàCD.GọiElàgiaođiểmcủaAC vàBD,gọiF,GlầnlượtlàtrựctâmtamgiácAEDvàtamgiácEBC.GọiHlàtrung điểmFG.Chứngminh EH ⊥ AB Câu5(2điểm):Chomộtlụcgiácđều.Tạimỗiđỉnhcủalụcgiáccómộtconchim đậu.Vàocùngmộtlúc,tấtcả sáuconchimđềubaylênkhỏivị trícủamình.Rồisau đó,cảsáuconlạiđậuxuốngcùngmộtlúc,chúnglạiđậuxuốngcácđỉnhnhưngkhông nhấtthiếtđậuxuốngvị trícũcủamình.Chứngminhrằngtồntại3conchimsaocho tamgiáctạobởicácđỉnhmàchúngđậutrướckhibaybằngtamgiácmàchúngđậusau khibay. Câu6(3điểm):Tìmhàmsốf(x)thoảmãn: f ( x + y ) f ( x ). f ( y ) 2007 x + y , ∀x,y R . Câu7(3điểm):ChotamgiácABCnộitiếptrongđườngtròn(O).Tiếptuyếnvới(O) tạiAcắtđườngthẳngBCtạiD.GọiElàtâmđườngtrònquaAvàtiếpxúcBCtạiB, gọiFlàtâmđườngtrònquaAvàtiếpxúcBCtạiC.ChứngminhD,E,Fthẳnghàng. Họvàtênthísinh:…………………………………………………..Sốbáodanh:………………………………………………………….Chúý:Giámthịkhônggiảithíchgìthêm.ThísinhkhôngđượcsửdụngtàiliệuSỞGIÁODỤCVÀĐÀOTẠOLAOCAI ĐÁPÁNKIỂMTRAĐỘITUYỂNTOÁN12Câu Nộidung Điểm 1 1 Xéthàmsố f ( x) = ln(1 + x2 ) − 2004, x R. 2 0.5 x 1 Có: f ( x) = ,x R . 1 + x2 2 0.5 x − x +1 2 Xéthàmsố g(x)=xf(x).Tacó g ( x) = > 0∀x R .Dođóg(x) x2 + 1 0.5 đồngbiếntrênR. Mặtkhácg(0).g(2004) x= y x 2 + 21 = x − 1 + x 2 (1) (1) � x 2 + 21 − 5 = x − 1 − 1 + x 2 − 4 x2 − 4 x−2 � = + ( x − 2)( x + 2) x 2 + 21 + 5 x −1 +1 � 1 � 1 � � � ( x − 2) � + ( x + 2) � 1− �= 0 � 0.25 � x −1 +1 � x 2 + 21 + 5 � � � � 1 � 1 � � � � x = 2 �Do � + ( x + 2) � 1− �> 0 � � � � x − 1 + 1 � x 2 + 21 + 5 � � � 0.25 � � Vậyhệcónghiệmduynhất(2;2). 0.5 0.53 a 2 + b 2 b 2 + c 2 c 2 + a 2 3(a 2 + b 2 + c 2 ) + + a+b b+c c+a a+b+c �a + b b + c c2 + a2 � 2 2 2 2 0.5 � (a + b + c) � + + ��3( a + b + c ) 2 2 2 � a + b b + c c + a � c(a 2 + b 2 ) a(b 2 + c 2 ) b(c 2 + a 2 ) � + + �a 2 + b 2 + c 2 a+b b+c c+a 0.5 c ( a + b ) 2 b (c + a 2 ) 2 2 2 a (b 2 + c 2 ) � c2 − +b − + a2 − �0 a+b ...