Đề thi cuối học kỳ II năm học 2014-2015 môn Hàm biến phức và biến đổi laplace

Đề thi cuối học kỳ II năm học 2014-2015 môn Hàm biến phức và biến đổi laplace gồm 10 câu hỏi trắc nghiệm và 3 bài tập tự luận bao quát toàn bộ kiến thức môn học giúp cho các bạn sinh viên nắm bắt được cấu trúc đề thi, dạng đề thi chính để có kế hoạch ôn thi một cách tốt hơn.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi cuối học kỳ II năm học 2014-2015 môn Hàm biến phức và biến đổi laplaceTröôøng ÑH Sö phaïm Kyõ thuaät Tp.HCMÑEÀ THI CUOÁI KYØ HOÏC KYØ II NAÊM HOÏC 2014-2015KHOA KHOA HOÏC CÔ BAÛN MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACEBOÄ MOÂN TOAÙNMaõ moân hoïc: MATH 121201 Thôøi gian : 90 phuùt (1/6/2015)Ñeà thi goàm 3 trangÑöôïc pheùp söû duïng taøi lieäuMaõ ñeà: 00-0001-0110-2015-1615-0001 (Noäp laïi ñeà naøy)PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM LÖÏA CHOÏN (5,0 ñieåm)(choïn 1 trong caùc caâu A, B, C, D roài ñieàn vaøo BAØI LAØM PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM ôû trang 6)e2+ e −2i laø:Câu 1 Phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa soá phöùc z =1 − 3i22e23e 2A) Rez = e + cos2, Imz = 3e - sin2C) Rez =+ cos2, Imz =- sin23e 2e21010+ cos2, Imz =+ sin2B) Rez =D) Rez = e 2 + cos2, Imz = 3e 2 + sin21010Câu 2 Khẳng định nào sau đây sai?A) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) không giải tích trên mieàn D thì các hàm u(x,y) và v(x,y)không điều hòa trên miền D.B) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) khả vi tại điểm z = xo+iyo thì các hàm u(x,y) và v(x,y)thỏa điều kiện Cauchy – Reimann tại (xo,yo).C) Nếu hàm v(x,y) không điều hòa trên miền D thì f(z) = u(x,y)+iv(x,y) không giải tích trên D.D) Nếu các hàm u(x,y) và v(x,y) điều hòa vaø thoûa ñieàu kieän Cauchy – Reimann trên miền D thìf(z) = u(x,y) + iv(x,y) giải tích trên mieàn D.Caâu 3 Trong maët phaúng phöùc cho caùc taäp hôïp ñieåm E = {z : z − 1 + i = z − 3 − i }, F = {z : z − 3 + 4i < 6}.Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai?A) Taäp E laø ñöôøng trung tröïc cuûa ñoaïn thaúng noái hai ñieåm 1 − i vaø 3 + i .B) Taäp F laø hình troøn môû taâm 3 − 4i baùn kính baèng 6 .C) Caùc taäp E vaø F ñeàu laø caùc taäp lieân thoâng.D) Hai taäp E vaø F khoâng coù ñieåm chung ( E ∩ F = ∅ ) .Câu 4 Ảnh của đường thẳng y = 0 qua phép biến hình w = e 3+iz = u +iv làA) ñöôøng thẳng u = 0.B) ñöôøng tròn u2 + v2 = e 6 .D) ñöôøng thẳng v = 0.C) ñöôøng tròn u2 + v2 = e 3 .Caâu 5 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai?A) Hình troøn hoäi tuï cuûa chuoãi luõy thöøa (neáu coù) thì duy nhaát.B) Baùn kính hoäi tuï cuûa chuoãi luõy thöøa (neáu coù) thì duy nhaát.C) Chuoãi(2 + 5 n +1 )nn( z − 3i ) ncoù baùn kính hoäi tuï laø R = lim⋅=5∑ 2 + 5nn→∞ ( 2 + 5 n )n +1n =1D) Chuoãin( z − 3i ) n∑ 2 + 5 n coù hình troøn hoäi tuï laø z − 3i ≤ 5 .n =1∞∞Caâu 6 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai?A) Neáu a laø ñieåm baát thöôøng coâ laäp cuûa haøm f(z) vaø lim f ( z ) = ∞ , lim(z − a) m f (z) = Az →a(vôùi 0 ≠ A ≠ ∞ ) thì a laø cöïc ñieåm caáp m cuûa haøm f(z).-1-z →ae5zB) z = 3i laø cöïc ñieåm caáp 2 cuûa haøm f(z) =( z − 3i ) 2C)⎡ e5z⎤e5zdz =2 πi Re s ⎢,3i ⎥ = 10πie15i2∫=6 ( z − 3i) 2⎢ ( z − 3i )⎥z −i⎣⎦D)⎡ e5z⎤e5zdz = 2 πi Re s ⎢,3i ⎥2∫i =6 ( z − 3i) 2⎢ ( z − 3i)⎥z +5⎣⎦Caâu 7 Cho phöông trình vi phaân: y’-8y = u(t-π) e t −π (1) vôùi ñieàu kieän ban ñaàu y(0) = 1.Ñeå giaûi phöông trình vi phaân naøy ta laøm nhö sau: Ñaët Y = Y(p)= L [y(t)]♦ Bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình (1 ) ta ñöôïc:pY-8Y =e −πp+1p −1(2)e −πp1♦ Giaûi phöông trình (2) vôùi Y laø aån ta ñöôïc : Y=+( p − 1)( p − 8)p −8♦ Phaân tích veá phaûi cuûa (3) thaønh phaân thöùc ñôn giaûn ta ñöôïc: Y =♦ Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm: y =((3)e −πp7⎛ 11 ⎞1⎜⎜ p − 8 − p − 1⎟ + p − 8⎟⎝⎠)1 8 ( t −π )e− e t −π u (t − π ) + e 8t7A) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn ñuùng, keát quaû C) Caùch laøm sai, tính toaùn sai, keát quaû sai.ñuùng.D) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû sai.B) Caùch laøm sai, tính toaùn ñuùng, keát quaû sai.Câu 8 Giả sử L [f(t)] = F(p). Khẳng định nào sau đây sai?⎤⎡ t 6up−6⎢ ∫ e cos 3udu ⎥ =2B) L⎦ p ( p − 6) + 9⎣0⎡t⎤ F ( p)A) L ⎢ ∫ f (u )du ⎥ =p⎣0⎦(1C) Neáu f(t) laø haøm goác tuaàn hoaøn vôùi chu kyø T thì L [f(t)] =1 − e− Tpkhi 0 < t < πvaø f(t+2π) = f(t) thì L [f(t)] =khi π < t < 2π⎧sin 5tD) Neáu f (t ) = ⎨⎩0T∫e)− pt f (t ) dt011 − e−πpπ− pt sin 5tdt∫e0Câu 9 Giả sử L [f(t)] = F(p), L [g(t)] = G(p) và a, b là các hằng số. Khẳng định nào sau đây sai?A) L [af(t) + bg(t)] = aF(p) + bG(p)B) L -1[aF(p) + bG(p)] = af(t) + bg(t)C) L [5 + t 3 e 2t + sh3t ] =⎡ 3p + 5 ⎤53!3++ 24p ( p − 2)p −9D) L -1 ⎢ p 2 − 64 ⎥ = 3ch8t + 5sh8t⎣⎦tCaâu 10 Ñeå giaûi phöông trình tích phaân: y(t)= e3t+5 ∫ y (u ) cos 2(t − u )du ta laøm nhö sau:0♦ Aùp duïng tích chaäp, phöông trình töông ñöông vôùi: y(t) = e 3t +5y(t)*cos2t♦ Ñaët Y = Y(p) = L [y(t)] vaø bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình ta ñöôïcL [y(t)] = L [ e 3t ] +5 L [y(t)*cos2t]♦ Aùp duïng coâng thöùc Borel ta ñöôïcY=p11+ 5L [y(t)] L [cos2t] ⇔ Y =+5Y 2p−3p−3p +4♦ Giaûi phöông trình vôùi Y laø aån ta ñöôïc: Y =p2 + 4( p − 1)( p − 3)( p − 4)-2-♦ Phaân tích thaønh phaân thöùc ñôn giaûn: Y=ACB++(vôùi A, B, C = const maø chuùng ta chöa tìm)p −1 p − 3 p − 4♦ Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm : ...