Đề thi học kỳ I năm học 2009-2010 môn: Đại số tuyến tính (Ca 3)

"Đề thi học kỳ I năm học 2009-2010 môn: Đại số tuyến tính (Ca 3)" có thời gian làm bài 90 phút, gồm 7 câu hỏi với hình thức thi tự luận. Mời bạn đọc cùng tham khảo tài liệu để nắm bắt cấu trúc đề thi môn Đại số tuyến tính.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi học kỳ I năm học 2009-2010 môn: Đại số tuyến tính (Ca 3) ÑEÀ THI HOÏC KYØ I NAÊM HOÏC 2009-2010 Moân hoïc: Ñaïi soá tuyeán tính. Thôøi gian laøm baøi: 90 phuùt. Ñeà thi goàm 7 caâu. Sinh vieân khoâng ñöôïc söû duïng taøi lieäu. HÌNH THÖÙC THI: TÖÏ LUAÄN CA 3 Caâu 1 : Trong khoâng gian I 4 vôùi tích voâ höôùng chính taéc, cho khoâng gian con R F = {( x1 , x2 , x3 , x4 ) |x1 +x2 −x3 −2 x4 = 0 & 2 x1 +x2 −3 x3 −5 x4 = 0 & 3 x1 +x2 −5 x3 −8 x4 = 0 } Tìm chieàu vaø moät cô sôû TRÖÏC CHUAÅN cuûa F . Caâu 2 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f : I 3 −→ I 3 , bieát ma traän cuû f trong cô sôû R R  a −1 4 −2 E = {( 1 , 2 , 1 ) , ( 1 , 1 , 2 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) } laø A =  −3 4 0 .   −3 1 3 Cheùo hoaù aùnh xaï tuyeán tính f . Caâu 3 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f : I 3 −→ I 3 , bieát R R  ma traän cuûa f trong cô sôû  1 1 2 E = {( 1 , 0 , 1 ) , ( 1 , 1 , 0 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) } laø A =  2 3 0 .   3 5 −4 Tìm cô sôû vaø soá chieàu cuûa Imf . Caâu 4 : Cho A vaø B laø hai ma traän ñoàng daïng. Chöùng toû raèng A cheùo hoaù ñöôïc khi vaø chæ khi B cheùo hoaù ñöôïc.   1 4 −1 Caâu 5 : Tìm m ñeå ma traän A =  4  m 2  coù ít nhaát moät trò rieâng aâm.  −1 2 4 Caâu 6 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f : I 3 −→ I 3 , bieát f ( x) = f ( x1 , x2 , x3 ) = ( −x2 + 2 x3 , −2 x1 + x2 + R R 2 x3 , x1 − x2 + x3 ) . Tìm m ñeå veùctô x = ( 2 , 2 , m) laø veùctô rieâng cuûa f . Caâu 7 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f laø pheùp ñoái xöùng trong heä truïc toaï ñoä Oxy qua ñöôøng thaúng 2 x−3 y = 0 . Tìm taát caû caùc trò rieâng vaø cô sôû cuûa caùc khoâng gian con rieâng cuûa f . Giaûi thích roõ. Ñaùp aùn ñeà thi Ñaïi soá tuyeán tính, naêm 2009-2010, ca 3 Thang ñieåm: Caâu 1, 2, 3, 5, 6, 7: 1.5 ñieåm; caâu 4: 1.0 ñieåm. Caâu 1(1.5ñ). Tìm moät cô sôû tuøy yù cuûa F : E = {( 2 , −1 , 1 , 0 ) , ( 3 , −1 , 0 , 1 ) } Duøng quaù trình Gram-Schmidt ñöa veà cô sôû tröïc giao: E1 = {( 2 , −1 , 1 , 0 ) , ( 4 , 1 , −7 , 6 )} Chuaån hoùa, coù cô sôû tröïc chuaån: E2 = { √ 16 ( 2 , −1 , 1 , 0 ) , √ 1 ( 4 , 1 , −7 , 1 ) } 67     2 1 1 2 0 0 Caâu 2(1.5ñ). Cheùo hoùa ma traän (1.0 ñ) A = P · D · P −1 , P =  3 1 3 . D =     0 1 0 .  3 1 4 0 0 3 Cô sôû caàn tìm laø B = {( 8 , 1 0 , 1 1 ) , ( 3 , 4 , 4 ) , ( 8 , 9 , 1 1 ) }. Ma traän cuûa f trong B laø D. Caùc coät cuûa P laø caùc VTR cuûa A, phaûi ñoåi sang cô sôû chính taéc!! Caâu 3(1.5ñ). Dim(Imf ) = r( A) = 3 ; Im( f) =< f ( E) >=< f ( 1 , 0 , 1 ) , f ( 1 , 1 , 0 ) , f ( 1 , 1 , 1 ) >= =< ( 6 , 5 , 4 ) , ( 9 , 8 , 6 ) , ( −2 , −4 , −2 ) >. Cô sôû cuûa Im( f ) laø {( 6 , 5 , 4 ) , ( 9 , 8 , 6 ) ( −2 , −4 , −2 ) }. Caùch khaùc: Vì Dim(Imf ) = r( A) = ...