Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 12 (2012 - 2013) – Sở GD&ĐT Bắc Ninh

Kì thi học sinh giỏi là kì thi quan trọng đối với mỗi học sinh. Dưới đây là Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 12 (2012 - 2013) – Sở GD&ĐT Bắc Ninh giúp các em kiểm tra lại đánh giá kiến thức của mình và có thêm thời gian chuẩn bị ôn tập cho kì thi sắp tới được tốt hơn.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 12 (2012 - 2013) – Sở GD&ĐT Bắc NinhUBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOĐỀ CHÍNH THỨCĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012 – 2013 MÔN THI: TOÁN – LỚP 12 – THPT Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi 29 tháng 3 năm 2013================Câu 1. (5,0 điểm) Cho hàm số y  x  x  1 1 . 1. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1 biết tiếp tuyến này vuông góc với đường thẳng d có phương trình x  5 y  1  0 . 2. Tìm m để đường thẳng  có phương trình y   m  1 x  1 cắt đồ thị hàm số 1 tại ba điểm phân biệt A  0;1 , B, C , biết hai điểm B, C có hoành độ lần lượt là x1; x2 thỏa mãn:3 x13   m  2  x1 x2   m  2  x2   1 . 2 x2  1 x12  132Câu 2. (5,0 điểm) 1. Giải phương trình:2  sin x  cos x  1  2sin 2 x   1  tan x . sin 3x  sin 5 x2 x  log 2 x  log 2  2 x  y.2 x   2. Giải hệ phương trình:  2 2log 2 x  6log 2  y  1  x log 2 x  3 y  3  0 Câu 3. (2,0 điểm) Tính tổng: S  C0 2013 x, y   .22  1 23  1 2 2 22014  1 2013 2013 1  .2.C2013  .2 .C2013  ...  .2 .C2013 . 2 3 2014Câu 4. (4,0 điểm) 1.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A 1;1 , B  3;2  , C  7;10  . Lập phương trình đường thẳng  đi qua A sao cho tổng khoảng cách từ B và C đến đường thẳng  lớn nhất. 2. Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai mặt cầu  S1  : x 2  y 2   z  1  42 2 2 2 S2  :  x  3   y  1  z  1  25 . Chứng minh rằng hai mặt cầu trên cắt nhau theo giaotuyến là một đường tròn. Tính bán kính đường tròn đó. Câu 5. (3,0 điểm) Cho hình chóp tam giác đều S . ABC có cạnh đáy bằng 1. Gọi M , N là hai điểm thay đổi lần lượt thuộc các cạnh AB, CD sao cho mặt phẳng  SMN  luôn vuông góc với mặt phẳng( ABC ) . Đặt AM  x, AN  y . Chứng minh rằng x  y  3xy , từ đó tìm x, y để tam giácSMN có diện tích bé nhất, lớn nhất. Câu 6. (1,0 điểm)Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a 2  b 2  c 2  a 3  b3  c 3 . Chứng minh rằng1 8a  11 8b  11 8c  1 1.------------------------Hết-----------------------(Đề thi gồm có 01 trang)UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOHƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012 - 2013 MÔN THI : TOÁN – LỚP 12 – THPT Ngày thi 29 tháng 3 năm 2013 ==============Thang điểm 3.0Lời giải sơ lược Cho hàm số y  x 3  x 2  1 1 . Câu 1.1 Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1 biết tiếp tuyến này vuông góc với đường thẳng d có phương trình x  5 y  1  0 . TXĐ: , y  3x 2  2 x1 Hệ số góc của d là   Hệ số góc của tiếp tuyến là k  5 5Gọi M  x0 ; y0  là tiếp điểm1.0 x0  1  y0  3  Khi đó 3 x0  2 x0  5   5 23  x    y0     0 3 27  21.0Từ đó tìm được phương trình hai tiếp tuyến:y  5x  2 ; y  5x 202 271.0Tìm m để đường thẳng  có phương trình y   m  1 x  1 cắt đồ thị hàm số 1 1.2 tại ba điểm phân biệt A  0;1 , B, C , biết điểm B, C có hoành độ lần lượt là x1; x2 thỏa mãn:3 x13   m  2  x1 x2   m  2  x2   1 2  . 2 x2  1 x12  12.0Phương trình hoành độ giao điểm:x  0 x 3  x 2  1   m  1 x  1  x  x 2  x   m  1   0   2    x  x   m  1  0 * cắt đồ thị hàm số 1 tại ba điểm phân biệt A, B, C  phương trình (*) có0.55     4m  5  0 m   hai nghiệm phân biệt khác 0    4 (**) m  1  0  m  1 0.5Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của (*), ta có:x13   m  2  x1   x1  1  x12  x1   m  1    m  1    m  1   x23   m  2  x2   x2  1  x2 2  x2   m  1    m  1    m  1  Khi đó  2   0.5 m  1   m  1  12 x2  1x12  12 x 2  x2  2  x  x   2 x1 x2  2  1 3   m  1 2 1  1   m  1 2 2 1 2   2 2 x1 x2   x1  x2   2 x1 x2  1  x2  1 x1  12Kết hợp với hệ thức Viet ta biến đổi (3) trở thành 0.5m  0  1 . Từ đó tìm được   m  1  2  m  1  2  m  322  m  1  3  m  12Kết hợp điều kiện (**) ta có m  0 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 2.1 1.Giải phương trình:2  sin x  cos x  1  2sin 2 x   1  tan x 1 . sin 3 x  sin 5 x22.5 0.5sin 3 x  sin 5 x  0 ĐK:   sin 4 x  0 * cos x  0Biến đổi được 1   sin x  cos x  1  2sin 2 x   2 sin 4 x  cos x  sin x 2sin x  cos x  0  2    cos x  sin x 1  2sin 2 x   2 sin 4 x  3  0.5 2  x   k  k  4(Loại)0.5 3  cos x  sin x  sin 3x  sin x  cos3x  cos x 2 sin 4 x0.5   x  4  k 2    2 sin  3x    2 sin 4 x   k  4   x  3  k 2  28 7 Kết hợp với điều kiện (*) ta có nghiệm của phương trình là 3 k 2 x   k  7m  3, k , m   28 70.52.2 x  log 2 x  log 2  2 x  y.2 x  1  Giải hệ phương trình:   x, y  2 2log 2 x ...