Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 năm 2014-2015 - Trường THPT Con Cuông

Mời các em học sinh cùng tham khảo "Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 cấp trường năm 2014-2015 - Trường THPT Con Cuông" để làm quen với cách thức ra đề, các dạng bài tập, dạng câu hỏi. Từ đó đưa ra phương pháp ôn thi có hiệu quả hơn!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 năm 2014-2015 - Trường THPT Con CuôngCHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIAMÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017SỞ GD&ĐT NGHỆ ANĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNGTRƯỜNG THPT CON CUÔNGNĂM HỌC 2014 – 2015ĐỀ CHÍNH THỨCMÔN: TOÁN - KHỐI 10Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)Câu 1. (6,0 điểm) Cho phương trình: m  1 x 2   3m  1 x  2m  3  0(1)a) Giải phương trình (1) khi m = 2b) Giả sử x1; x2 là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm m sao cho1 1 2x1 x2Câu 2. (4,0 điểm) Giải hệ phương trình:5 x 2 y  4 xy 2  3 y 3  2( x  y )  0 22x  y  2Câu 3. (2,0 điểm) Cho a,b,c là các số thực không âm có a + b + c = 1. Chứng minh rằng:2  a 3  b 3  c3   3abc  a 2  b 2  c 2Câu 4. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Chứng minh rằng: 2  2   AB . AC  AB. AC2 4 R 2 sin A sin B sin CCâu 5. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC. M là điểm thuộc cạnh BC sao cho MC = 2MB, N làđiểm thuộc cạnh AC sao cho NA = 2NC. Gọi K là giao điểm của MA và BN. Chứng minhrằng: AK = 6.KMCâu 6. (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC, đường phân giác trong của góc A cắt cạnh BC tạiD và cắt đường tròn ngoài tiếp tam giác ABC tại E(2;1) khác A. Viết phương trình đườngthẳng BE biết đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD có phương trìnhx2  y 2  4x  6 y  3  0 .---- Hết ---Họ tên thí sinh:............................................................. Số báo danh:...................................www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807Trang | 1CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIAMÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC(Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)Câu1.a)Nội dungĐiểm6.02,00,52Khi m  2 PT (1) có dạng: x  7 x  7  0  49  28  21  00,5PT (1) có 2 nghiệm phân biệt: x1 7  217  21và x1 221,0b)4,0m  1  0a  02   0  3m  1  4  m  1 2m  3  0Để PT(1) có 2 nghiệm  0,5m  1 2m  2 m  13  00,5m  1 m  1 (*)m3m  12m  3Theo hệ thức Viet ta có: x1  x2 và x1 x2 m 1m 1Theo bài ra:1,01 1x  x2 2 12x1 x2x1 x20,53m3m  1m52022m  32m  3 m  51,0 3 2Kết hợp (*) ta được giá trị cần tìm của m là: m   ; 5     ;   \ 12.0,54,023225x y  4 xy  3 y  ( x  y )( x  y )  022x  y  2Hệ đã cho  0,54 x  y  5 xy 2  2 y 3  x3  0 (*) 22x  y  20,5Ta thấy x = 0 không là nghiệm của hệ nên từ PT (*) đặt: t t  12t  5t  4t  1  0   1t  232www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807yta được PT:x0,5Trang | 2CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIAMÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017y  x x  1  x  122 y  1  y  1x  y  2Khi t = 1 ta có: 2 22 21x x  1y  x55Khi t  ta có:  22 x2  y 2  2y  2y   255 2 2 2   2 2  2 ;;;55  55 Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm: 1;1 ;  1; 1 ; 3.1,01,00,52,0Do vai trò của a,b,c trong bất đẳng thức là như nhau nên không mất tính tổng quát tagiả thiết rằng a  b  c  0 .Khi đó: a  a  c   b  b  c   0  a  a  b  a  c   b  a  b  b  c 0,5 a  a  b  a  c   b  b  a  b  c   0 (1)Mà  a  c  b  c  c  0  c  c  a  c  b   0 (2)Từ (1) và (2) suy ra: a  a  b  a  c   b  b  a  b  c    a  c  b  c  c  0 a3  b3  c3  3abc  a 2b  a 2c  b2c  b2a  c 2b  c 2a a3  b3  c3  6abc   a  b  c  ab  bc  ca 3330,50,5Kết hợp giả thiết a  b  c  1  a  b  c  6abc  ab  bc  ca (3)Từ đẳng thức a 3  b3  c3  3abc   a  b  c   a 2  b 2  c 2   ab  bc  ca   a3  b3  c3  3abc  a 2  b 2  c 2   ab  bc  ca  (4)0,5Cộng (3) và (4) ta được: 2 a 3  b 3  c3  3abc  a 2  b 2  c 2 (đpcm).4.2,0 2  2  VT  AB . AC  AB. AC2 AB 2 . AC 2  AB 2 . AC 2 .cos 2 A  AB. AC .sin A1,0Theo định lí Sin ta có: AB  2 R sin C và AC  2 R sinBVậy: VT  4 R 2 sin A sin B sin C  VP (đpcm).5.0,50,5   Đặt: AB  a ; AC  b và AK  t . AM  2t   t Khi đó: BK    1 a  .b33 2BN  a  b3www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 8073,00,50,50,5Trang | 3CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIAMÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017 2t t   2  1 a  .b  m   a  b 33  3Do B, N, K thẳng hàng nên  m : BK  mBN  0,53 2t 1  mm37 t  2mt  63 73 6  Suy ra AK  . AM  AK  6.KM  AK  6.KM (đpcm).70,50,56.2,0Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD.180  BID 180  2 BADTa có: IBD  90  BAD22AI BAE  CAE BAD  DBEMặt khác: CBE  CAE1,0BD IBE  IBD  DBE  90  BAD  DBE  90Suy ra BE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tamgiác ABD.E22Gọi đường thẳng BE có dạng: a  x  2   b  y  1  0, a  b  0Theo bài ra đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD có tâm I  2;3  và R = 4Do BE là tiếp tuyến chứng minh trên nênd  I ; BE   R 4a  2ba 2  b20,5 4  2a 2  b2  4ab  0Chọn a = 1 ta được b  2  6Vậy có hai đường thẳng BE cần tìm:xC6  2 y  6  0 x www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 8070,562 y 6 0Trang | 4CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIAMÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017GIÁO VIÊN VÀ HUẤN LUYỆN VIÊN HÀNG ĐẦU-Học Online trực tiếp với các Thầy, Cô là chuyên gia bồi dưỡng HSG Quốc gia chuyênmôn cao, giàu kinh nghiệm và đạt nhiều thành tích.Học kèm Online trực tiếp với Huấn luyện viên giỏi là các anh chị đã tham gia và đạtgiải cao trong kì thi HSG Quốc gia các năm trước.Chương trình được sắp xếp hệ thống, ...