Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2015-2016 - Trường THPT Lý Thái Tổ

Nhằm giúp các bạn học sinh làm quen với cách thức ra đề cũng như các dạng bài tập hay ra trong đề thi học sinh giỏi môn Toán. Xin gửi đến các em "Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2015-2016 - Trường THPT Lý Thái Tổ", tham khảo để các em ôn tập lại kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải đề nhé!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm 2015-2016 - Trường THPT Lý Thái TổCHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIAMÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017SỞ GD & ĐT BẮC NINHĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎITRƯỜNG THPT LÝ THÁI TỔNĂM HỌC 2015 – 2016MÔN THI: TOÁN – LỚP 12Thời gian làm bài: 150 phútCâu 1 (3.0 điểm) Cho hàm số: y  mx 3  3mx 2  3  m  1 , với m là tham số. Chứng minh rằngvới mọi m  0 , hàm số luôn có hai điểm cực trị A,B . Khi đó tìm các giá trị của tham số m để2AB2  OA 2  OB2  20 (trong đó O là gốc toạ độ).Câu 2 (3.0 điểm) Giải phương trình: cosx  cos3x  1  2 sin  2x   .4Câu 3 (3.0 điểm) Giải hệ phương trình: 2027  3x  4  x   6y  2024 3  2y  0 (1)(x,y  )22 7 x  8y  3 14x-18y  x  6x  13( 2)Câu 4 (4.0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có E,F lầnlượt thuộc các đoạn AB,AD sao cho EB  2EA; FA  3FD , F(2;1) và tam giác CEF vuông tạiF. Biết đường thằng x  3y  9  0 qua hai điểm C, E. Tìm toạ độ điểm C biết C có hoành độdương.Câu 5 (3.0 điểm) Cho tứ diện ABCD có AD  a,AB  b,AC  c và BAC  CAD  DAB  600 .1. Tính thể tích của khối tứ diện ABCD theo a,b,c .2. Cho a  b  c  2015  Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi của tam giác BCD.1315Câu 6 (2.0 điểm) Tính: S  C0  C2  C4   20152015201512014C20152015Câu 7 (2.0 điểm) Cho x, y, z là ba số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:1P16 xy  8 xz  7z 9 x  y  z-------------------------- Hết -------------------------www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807Trang | 1CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIAMÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂMCâu1(3.0điểm)ĐiểmĐáp ánTìm m để hàm số có hai điểm cực trị…..Ta có: y  m(3x 2  6x) x  0  y  3m  3Với mọi m  0 , ta có: y  0  1.0x  2  y  m  3 Hàm số luôn có hai điểm cực trị.Vai trò A, B như nhau nên giả sử A(0; 3m  3), B(2;  m 3) . Ta có:2222 22AB  (OA  OB )  20  2 4  16m  9(m  1)  4  (m  3)m  1(thỏa mãn đk) 11m  6m  17  0   m  17112  201.02Vậy giá trị m cần tìm là: m  1 và m 2(3.0điểm)1.017.11Giải phương trình:PT  cosx  cos3 x  1  sin 2 x  cos2 x 2 cos2x cosx  2 cos2 x  2 sinx cosx1.0 2 cosx  cos2x  cosx  sin x   0 2 cosx  cos2 x  sin2 x   cosx  sinx    01.0 2 cosx  cosx  sin x   cosx  sinx  1  0www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807Trang | 2CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIAMÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017 x   k x  2  k2 cosx  03  cosx  sinx  0   2 cos x    0   x  k44 cosx  sin x  1 x     k 2 2 cos x    1443(2.0điểm)(k  )1.0Giải hệ phương trình…32ĐKXĐ: x  4,y  , 7x  8y  0,14x  18y  0 (Thiếu điều kiện trừ 0.5)0.5PT (1) 3(4  x)  2015 4  x  3(3  2y)  2015 3  2y (3)Xét hàm số: f (t)   3t  2015 t liên tục trên  0;   Có f (t)  3 t 3t  2015 0, t  02 t1.0Suy ra hàm số đồng biến trên  0;   Nên pt (3) f  4  x   f  3  2y   4  x  3  2y  y Thay y x 12x 1vào pt (2) ta được pt:22 7 x  4(x  1)  3 14x  9(x  1)  x 2  6x  13 2 3x  4  3 5x+9  x 2  6x  13 2 3x  4  2(x  2)  3 5x+9  3(x  3)  x 2  x2x(x  1)3x  4  (x  2)3x(x  1)1.0 x(x  1)5x  9  (x  3)23 x(x  1)  1  05x  9  (x  3)  3x  4  (x  2)www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807Trang | 3CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIAMÔN TOÁN NĂM 2016 - 2017x  0.( Vì x(x  1)  0   x  123x  4  (x  2)3 1  0 với5x  9  (x  3)4x 4)30.512Vậy hệ pt có hai nghiệm:  0;   ;  1; 1 .4(3.0điểm)AEFgócvàDFCF1  C1 (vì0F2 ), A  D  90   AEFBAE AF EFDF DC FCHDF x-3y-9=0có:ADE4,AF A DFCABmà AE  C ,1.0313ADAB 3 .4AD 41cùng phụ vớiDo đó:2DF(2;1)Gọi H là hình chiếu củaF trên EC. Khi đó: CF  2FH  2d(F,CE)  2 51.0Gọi C(3t  9; t) với t  3 (vì x C  0 ). Ta có: CF  2 5  CF2  201.0 t  1 (3t  7)2  (t  1) 2  20  t 2  4t  3  0   t  3 (L)1.0Với t  1  C(6; 1) . Vậy C(6; 1)0.5)www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807(không loại nghiệm trừTrang | 4CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIAMÔN TOÁN NĂM 2016 - 20175Trên các cạnh AB, AC lấy các điểm B,C sao cho:(3.0 đ)AB  AC  AD  a . Khi đó tứ diện ABCD là tứAdiện đều cạnh a có thể tích:  VABCD aba3 212cTa có:BDBCVABCD AB AC a a a2VABCDAB AC b c bc1.5C VABCD bc a3 2 abc 2bcVABCD  212a2a 12Chu vi tam giác BCD:p  DC  BC  BD  a2  ac  c2  b2  bc  c2  a2  ab  b2313131(a  c)2  (a  c)2 (b  c)2  (b  c)2 (a  b)2  (a  b)24444441.5a c b  c a b a  b  c  2015222Vậy pmin  2015 khi a  b  c 6Chứng minh:(2.0 đ)Khi đó: S 2015.3CkCk 1n n1k  1 n 11C1  C3  C5  ...  C20152016201620162016 2016Ta lại có: 1  120160.5 C0  C1  C2  C3  ....  C2015  C20162016201620162016201620160.51  12016 C0  C1  C2  C3  ....  C2015  C2016201620162016201620162016www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807Trang | 5 ...