Đề thi HSG cấp huyện lớp 9 THCS môn Toán năm 2012 - 2013

"Đề thi HSG cấp huyện lớp 9 THCS môn Toán năm 2012 - 2013 " gồm 5 câu bài tập tự luận với thời gian làm bài trong vòng 150 phút, đề kiểm tra sẽ giúp các bạn ôn tập lại kiến thức đã học, có cơ hội đánh giá lại năng lực của mình trước kỳ thi sắp tới.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi HSG cấp huyện lớp 9 THCS môn Toán năm 2012 - 2013PHÒNG GD&ĐTKỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 9 THCSNĂM HỌC 2012 - 2013Đề chính thứcMôn thi: ToánThời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao bài)Bài 1 (5 điểm). 2 a  12 a:Cho biểu thức: A = 1   1  a a a  a  a  1  , với a ≥ 0a1 1. Rút gon biểu thức A.2. Thính giá trị của biểu thức A khi a = 2010 -2 2009 .Bài 2 (4 điểm).1. Giải phương trình (x + 1)(x +2)(x + 4)(x + 8) = 28x2 x 3  y 3  3( x  y )2. Giải hệ phương trình:  x  y  1Bài 3 (4 điểm).1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: y2 = - 2(x6- x3y - 32)2. Cho tam giác ABC vuông tại A có phân giác AD. Gọi M, N lần lượt là hìnhchiếu của B, C lên đường thẳng AD.Chứng minh rằng: 2AD ≤ BM + CNBài 4 (5 điểm).Cho tam giác ABC vuông cân tại C. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, P là điểmtrên cạnh BC; các điểm N, L thuộc AP sao cho CN ┴ AP và AL = CN.1. Chứng minh góc MCN bằng góc MAL.2. Chứng minh ∆LMN vuông cân3. Diện tích ∆ ABC gấp 4 lần diện tích ∆MNL, hãy tính góc CAP.Bài 5 (2 điểm).Cho a b và ab = 6. Chứng minh:a2  b24 3a b..................................Hết....................................Họ và tên thí sinh: ........................................................................ Số báo danh:.......................Họ tên và chữ ký của giá thị 1Họ tên và chữ ký của giám thị 2..............................................................................................KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 9 THCSPHÒNG GD&ĐTHướng dẫn chấm môn toánNội dungCâuCâu 11 (3,0đ)5,0 điểm Với điều kiện a 0. Ta có:Điểm 2 a  12 a:A = 1  1  a a a  a  a  1a1 =a  2 a 1  12 a: a 11a(a1)(1a)==1,02a 1a 1 2 a:a 1(a  1)(1  a )1,02a  1 (a  1)(1  a )(a  1)( a  1)2 1 a2(2,0 đ)Khi a = 2010 -2 2009 = ( 2009 -1)2Thì A = 1 + ( 2009  1) 2  20091,01,01,0Câu 21 (2,0đ) Ta có4,0 điểm (x + 1)(x +2)(x + 4)(x + 8) = 28x2(x2+ 9x +8)(x2 +8x + 8) = 28x2+ x = 0 không phải là nghiệm của phương trình (1)+ Với x0 chia hai vế (1) cho x2 ta được:8x8x(1) ( x   6)( x   9) = 28Đặt t = x 0,58x(1) trở thành (t+6)(t+9) = 28 t2 + 15t + 26 = 0t  2t  138Với t = -2 ta có x  = - 2 x2 + 2x + 8 = 0. PT này vô nghiệm.x8Với t = -2 ta có x  = - 13 x2 +13x + 8 = 0. x = - 13  137 .xVậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = - 13  137 .0,50,50,52 (2,0 đ)Hệ phương trình: x 3  y 3  3( x  y )( x  y )( x 2  xy  y 2  3)  0 x  y  1 x  y  1Hệ này tương đương với tuyển của hai hệ phương trình sau:0,5 x 2  xy  y 2  3  0x  y  0(I) và  (II) x  y  1 x  y  112120,5* Giải hệ (I) có nghiệmb (x,y) = (  ; )0,25* Xét hệ (II) từ x+y = -1 ta có y = - x-1 thay vào phương trình đầucủa hệ (II) ta được x2 +x -2 = 0Phương trình này có hai nghiệm: x = -1 và x = - 2Từ đó ta thấy h ệ (II) có hai ghiệm: (1; - 2); (2; -1)0,51 1Kết luận: Hệ đã cho có nghiêm (x;y) l à: (  ; ); (1; - 2); (2; -1)2 2Câu 31(2,0đ): Ta có: : y2 = - 2(x6- x3y - 32) x6+(y-x3)2 = 644,0 điểm => x6 ≤ 64 => -2≤ x ≤2 do x  Z => x  {-1; -2; 1; 0; 1; 2}Xét các trường hợp:+ x = 2 => (y - x3)2= 0 => y = 8+ x = 1 => (y - x3)2= 63 => y Z => pt này không có nghiệmnguyên+ x = 0 => (y - x3)2= 4 => y = 8 và y = - 8+ x = - 1 => (y - x3)2= 63 => y  Z => pt này không có nghiệmnguyên+ x = -2 => (y - x3)2= 0 =>y = - 8Vậy nghiệm của phương trình là: (0;8); (0;-8); (2;8); (-2;-8).2(2,0đ)Ta có ∆AMB và ∆ANC vuông cân nên MA = MB và NA = NCNên BM + CN = AM + ANGiả sử: AB ≥ACDC AC1DB ABDN DC 1 => DN ≤ DM∆CDN và ∆BDM nênDM DB0,250,50,250,250,250,250,250.250,50,5Theo tính chất phan giác ta cóCâu 45,0điểmNếu I là trung điểm củaMN thì AD≤ AI và AM+AN= 2AIKhi đó 2AD≤ 2AI - AM+AN = BM + CN (đpcm)1(1,0đ)0,50,5Đặt ACP = a => ACN = 900 - aMCN = ACN - 450 = 900 - a - 450 = 450 - a = LAM2(2,0đ) Do ∆ABC vuông tại A mà AM là trung tuyến nên AM =CM và AL = CN (gt) MCN = LAM (c/m trên)Nên ∆AML = ∆CMN => LM = MN và AML = CMN=>LMN = 900 - AML + CMN = 900. Vậy tam giác ∆LMNvuông cân tại M3 (2,0đ) Do các ∆LMN, ∆ABC vuông cân nên:2 S∆LMN = MN2 và 2 S∆ABC = AC21AC.21Gọi Q là trung điểm của AC thì QM = QN = AC = MN20,50,51,01,0S ∆ABC = 4S∆LMN (gt) Từ đó suy ra MN ==> QMN = 600 và QNA = 600 - 450 = 15 0 .Mặt khác AQ = NQ nên CAP = QNA = 150Câu 5a b(a  b)  2ab12Ta có: a b 2,0 điểma ba ba b221,01,02Áp dụng bất đảng thức Côsi : a  b 1212 2 a  b.4 3a ba b1,01,0