Định lý Ptolemy

Hình học là một trong những lĩnh vực toán học mang lại cho người yêu toán nhiềuđiều thú vị nhất và khó khăn nhất. Nó đòi hỏi ta phải có những suy nghĩ sáng tạo vàtinh tế. Trong lĩnh vực này cũng xuất hiện ko ít những định lí, phương pháp nhằmnâng cao tính hiệu quả trong quá trình giải quyết các bài toán, giúp ta chinh phụcnhững đỉnh núi ngồ ghề và hiểm trở .
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Định lý PtolemyI.10) Bất đẳng thức PtolemyĐịnh lý:Cho tứ giác ABCD. Khi đó cóChứng minh:Lấy E nằm trong tứ giác ABCD sao cho vàKhi đó ~ hay .Hơn nữa ~ hayVậy ta có (đpcm). KHÁMPHÁĐỊNHLÍPTÔLÊMÊ tácgiả:Zaizai I. ởđầu: M Hìnhhọclàmộttrongnhữnglĩnhvựctoánhọcmanglạichongườiyêutoánnhiều điềuthúvịnhấtvàkhókhănnhất.Nóđòihỏitaphảicónhữngsuynghĩsángtạovà tinhtế.Tronglĩnhvựcnàycũngxuấthiệnkoítnhữngđịnhlí,phươngphápnhằm nângcaotínhhiệuquảtrongquátrìnhgiảiquyếtcácbàitoán,giúptachinhphục nhữngđỉnhnúingồghềvàhiểmtrở.Trongbàiviếtnàyzaizaixingiớithiệuđếncác bạnmộtvàiđiềucơbảnnhấtvềđịnhlíPtôlêmêtrongviệcchứngminhcácđặctính củahìnhhọcphẳng.Dùđãrấtcốgắngnhưngbàiviếtsẽkhôngthểtránhkhỏinhững thiếuxótmongrằngcácbạnsẽcùngzaizaibổsungvàpháttriểnnó. II,NộidungLíthuyết: 1.ĐẳngthứcPtôlêmê: Chotứgiác nộitiếpđườngtròn .Khiđó:Hìnhminhhọa(hình1)Chứngminh:Lấy thuộcđườngchéo saochoKhiđóxét và có:Nên đồngdạngvớiDođótacó: .Lạicó: vànên Suyra hayTừ và suyra:VậyđẳngthứcPtôlêmêđượcchứngminh.2,BấtđẳngthứcPtôlêmê:ĐâycóthểcoilàđịnhlíPtômêlêmởrộngbởivìnókhônggiớihạntronglớptứgiácnộitiếp.Địnhlí:Chotứgiác .Khiđó:Hìnhminhhọa(hình2)Chứngminh:Trong lấyđiểmMsaocho:Dễdàngchứngminh:Cũngtừkếtluậntrênsuyra:Ápdụngbấtđẳngthứctrongtamgiácvàcácđiềutrêntacó:VậyđịnhlíPtôlêmêmởrộngđãđượcchứngminh.3,ĐịnhlíPtôlêmêtổngquát:Trongmặtphẳngđịnhhướngchođagiác nộitiếpđườngtròn .Mlàmộtđiểmthuộccung (Khôngchứa )Khiđó:.Trongđó:ĐâylàmộtđịnhlíkodễdàngchứngminhđượcbằngkiếnthứchìnhhọcTHCS.CácbạncóthểthamkhảophépchứngminhtrongbàiviếtĐịnhlíPtôlêmêtổngquátcủaTiếnsĩNguyễnMinhHà,ĐHSP,HàNộithuộcTuyểntập5nămTạpchítoánhọcvàtuổitrẻ.III,ỨngdụngcủađịnhlíPtôlêmêtrongviệcchứngminhcácđặctínhhìnhhọc:1,Chứngminhquanhệgiữacácđạilượnghìnhhọc:Mởđầuchophầnnàychúngtasẽđếnvới1vídụđiểnhìnhvàcơbảnvềviệcứngdụngđịnhlíPtôlêmê.Bàitoán1:Chotamgiácđều cócáccạnhbằng Trên lấyđiểm diđộng,trêntiađốicủatia lấyđiểm diđộngsaocho .Gọi làgiaođiểmcủa và .Chứngminhrằng: (ĐềthivàotrườngTHPTchuyênLêQuíĐôn,thịxãĐôngHà,tỉnhQuảngTrị,năm học20052006) Hìnhminhhọa(hình3) Chứngminh: Từgiảthiết suyra Xét và có: Lạicó Từ: Suyratứgiác nộitiếpđượcđườngtròn. ÁpdụngđịnhlíPtôlêmêchotứgiác nộitiếpvàgiảthiết tacó: (đpcm) Đâylà1bàitoánkhádễvàtấtnhiêncáchgiảinàykođượcđơngiảnlắm.Vìnếu muốnsửdụngđẳngthứcPtôlêmêtrong1kìthithìcólẽphảichứngminhnódưới dạngbổđề.Nhưngđiềuchúýởđâylàtachẳngcầnphảisuynghĩnhiềukhidùng cáchtrêntrongkhiđónếudùngcáchkhácthìlờigiảicókhilạikomangvẻtường minh.Bàitoán2:Tamgiác vuôngcó .Gọi làmộtđiểmtrêncạnh làmộtđiểmtrêncạnh kéodàivềphíađiểm saocho .Gọi làmộtđiểmtrêncạnh saocho nằmtrênmộtđườngtròn. làgiaođiểmthứhaicủa vớiđườngtrònngoạitiếp .Chứngminhrằng:(ĐềthichọnđộituyểnHồngKôngthamdựIMO2000,HongKongTST2000)Hìnhminhhọa:(hinh4)Chứngminh:Xétcáctứgiácnộitiếp và tacó:(cùngchắncáccungtròn)MặtkhácXét và có:(do )(do )ÁpdụngđịnhlíPtôlêmêchotứgiácnộitiếp tacó:Từ suyra: (đpcm)Cóthểthấyrằngbài1làtưtưởngđơngiảnđểtaxâydựngcáchgiảicủabài2.Tứclàd ...