Giải đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2018-2019 – Sở Giáo dục và Đào tạo Thừa Thiên Huế

Giải đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2018-2019 – Sở Giáo dục và Đào tạo Thừa Thiên Huế được biên soạn với mục tiêu hướng dẫn các em học sinh phương pháp giải toán hiệu quả và tối ưu nhất. Mời các em cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giải đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2018-2019 – Sở Giáo dục và Đào tạo Thừa Thiên Huế GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 2018 - 2019. (Lời giải gồm 05 trang) C©u 1: (4,0 ®iÓm) 2x 1 Cho hµm sè y  cã ®å thÞ  C  . Gäi I lµ giao ®iÓm hai ®êng tiÖm cËn cña ®å x 1 thÞ  C  . TiÕp tuyÕn t¹i M cña ®å thÞ  C  c¾t hai ®êng tiÖm cËn cña ®å thÞ  C  lÇn lît t¹i hai ®iÓm A vµ B. a) Chøng minh M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng AB. b) X¸c ®Þnh täa ®é ®iÓm M ®Ó chu vi tam gi¸c IAB nhá nhÊt. Gi¶i: 1  2a  1 a) Ta cã y   2 . Gäi M  a ;   a  1 lµ tiÕp ®iÓm.  x  1  a 1  1 2a  1Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn d cña ®å thÞ  C  t¹i ®iÓm M lµ: y   2  x  a  .  a  1 a 1Gi¶ sö A, B lÇn lît lµ giao ®iÓm cña d víi ®êng tiÖm cËn ®øng vµ tiÖm cËn ngang.  2a Suy ra: A 1;  , B  2a  1; 2   a 1   x A  xB  1   2a  1  2a  2 xM Khi ®ã:  2a 4a  2  M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng AB.  y A  yB  2  2 yM  a 1 a 1 2b) Ta cã IA  ; IB  2 a  1  IA.IB  4 a 1Tam gi¸c IAB vu«ng t¹i I nªn: IA  IB  AB  IA  IB  IA2  IB 2  2 IA.IB  2 IA.IB  4  2 2VËy chu vi tam gi¸c IAB nhá nhÊt b»ng 4  2 2 khi vµ chØ khi: 2  a  0  M  0;1 IA  IB   2 a 1   a 1  a  2  M  2;3 C©u 2: (4,0 ®iÓm)  3    a) Gi¶i ph¬ng tr×nh 2 2 cos 2 x  sin 2 x cos  x    4 sin  x    0  x   .  4   4 b) Gi¶i ph¬ng tr×nh 2 x  3   x  1 x 2  6   x  2  x 2  2 x  9  0  x   . Gi¶i:a) Ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng víi:  1 1   1 1 2 2  cos x  sin x  cos x  sin x   sin 2 x   cos x  sin x   4  sin x  cos x   0  2 2   2 2  4  cos x  sin x  cos x  sin x   sin 2 x  cos x  sin x   4  sin x  cos x   0  cos x  sin x  0 1  4  cos x  sin x   sin 2 x  4  0  2 1 *Ta cã 1  tan x  1  x    k  k   . 4  *Gi¶i (2): §Æt t  cos x  sin x  2 cos  x      2; 2   sin 2 x  1  t 2  4 t  1Ph¬ng tr×nh trë thµnh: 4t  1  t 2  4  0  t 2  4t  3  0   t  3 (loai )  x  k 2  Víi t  1 ta cã 2 cos  x    1   k    4  x     k 2  2  VËy ph¬ng tr×nh ban ®Çu cã 3 hä nghiÖm lµ x    k ; x  k 2 ; x    k 2 k    4 2 u  x 2  2 x  9  0 u 2  v2  3b) §Æt   u2  v2  2x  3  x  v  x 2  6  0 2 2  u 2  v2  1  2  u 2  v2  1 Ph¬ng tr×nh ®· cho trë thµnh: u  v  v.    u.  0  2   2      2 u 2  v2  u  v  u 2  v2  u  v   0 u  v  0 u  v 2   2  u  v    u  v   1  0 u  v  1 (vn) 3Víi u  v ta cã x 2  6  x 2  2 x  9  x   . 2 3VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã 1 nghiÖm lµ x   . 2 C©u 3: (4,0 ®iÓm)  x3  y 3  3 x 2  4 x  y  2  0 a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:  3 2  x, y    .  2 x  y  5  3  x  y  x  3 x  10 y  10 b) Cho tËp A  0;1; 2;3; 4;5;6. Gäi S lµ tËp hîp c¸c sè tù nhiªn gåm 5 ch÷ sè kh¸c nhau ®îc chän tõ c¸c phÇn tö cña tËp A. Chä ...