Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 12 năm học 2012-2013 – Sở Giáo dục và Đào tạo Cần Thơ (Đề chính thức)

Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 12 năm học 2012-2013 – Sở Giáo dục và Đào tạo Cần Thơ (Đề chính thức) được biên soạn với 5 bài tập và có kèm theo hướng dẫn giải, chấm điểm. Giúp các em học sinh có thêm tư liệu phục vụ cho học tập và ôn thi.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 12 năm học 2012-2013 – Sở Giáo dục và Đào tạo Cần Thơ (Đề chính thức) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THÀNH PHỐ CẦN THƠ CẤP THÀNH PHỐ - NĂM HỌC 2012-2013 KHÓA NGÀY: 16/10/2012 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đềCâu 1 (4 điểm) Giải hệ phương trình sau trên tập số thực R   x+y+z =0  x3 + y 3 + z 3 = 48   7 x + y 7 + z 7 = 16128Câu 2 (4 điểm) Cho dãy số nguyên (un ) được xác định như sau: ( u1 = 1 ; u2 = 2 un = 4un−1 − un−2 , ∀n ≥ 3, n ∈ N a) Chứng minh rằng u2n + u2n−1 − 4un un−1 = −3 với n ≥ 2, n ∈ N u2n − 1 b) Chứng minh rằng là số chính phương với mọi n, n ∈ N∗ . 3Câu 3 (4 điểm) Cho nửa đường tròn (T ) tâm O, đường kính AB = 2R và điểm P di động trên (T ) (P khác A và B). Gọi (O1 ) và (O2 ) là hai đường tròn nhận OP làm tiếp tuyến chung, đồng thời (O1 ) tiếp xúc với (T ) và OA theo thứ tự là M, N, (O2 ) tiếp xúc với (T ) và OB theo thứ tự tại H, L. a) Chứng minh rằng khi P di động trên (T ) thì các đường thẳng M N và HL luôn cùng đi qua một điểm cố định K. b) Gọi C, D theo thứ tự là giao điểm thứ hai của (O1 ) với M A và M B, E là giao điểm của CN với BK và F là giao điểm của DN với AK. Chứng minh rằng khi P di động trên (T ), ta √ luôn có bất đẳng thức p > R(3 + 2), trong đó p là chu vi tứ giác ABEF .Câu 4 (4 điểm) Cho dãy 2013 số nguyên dương a1 , a2 , a3 , . . . a2013 thỏa mãn mỗi số không lớn hơn 4026 và với hai số bất kì thì bội số chung nhỏ nhất của hai số ấy luôn lớn hơn 4026. Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy số đã cho đều lớn hơn 1342.Câu 5 (4 điểm) Trong một bảng ô vuông có 10 × 10 ô được điền ở tất cả các ô là dấu “+”. Một bước thực hiện bằng cách đổi toàn bộ những dấu ở một hàng hoặc một cột nào đó sang dấu ngược lại. Có khả năng hay không sau hữu hạn bước như trên, bảng ô vuông nhận được có đúng 6 dấu “-” ? Hãy chứng minh khẳng định của mình. ——HẾT——Ghi chú: Giám thi coi thi không giải thích gì thêm.SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THÀNH PHỐ CẦN THƠ CẤP THÀNH PHỐ - NĂM HỌC 2012-2013 KHÓA NGÀY: 16/10/2012 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề HƯỚNG DẪN CHẤMCÂU NỘI DUNG ĐIỂM 3 2 Xét đa thức f (t) = t + at + bt + c có các nghiệm là x, y, z. Từ phương trình x + y + z = 0, ta suy ra a = 0. 1.0đ Do đó f (t) = t3 + bt + c Mặt khác xn+3 +y n+3 +z n+3 +b (xn+1 + y n+1 + z n+1 )−16 (xn + y n + z n ) = 0 (4) 1.0đ Và đặt Sn = xn + y n + z n với n ∈ N∗ . Khi đó (4) trở thành Sn+3 + bSn+1 − 16Sn = 0 Ta có S7 = −bS5 + 16S4 = −b (−bS3 + 16S2 ) + 16 (−bS2 + 16S1 ) = b2 S3 − 32bS2 + 256S1 (5)1(4đ) Thế S7 = 16128, S3 = 48, S2 = −2b, S1 = 0 vào (5), ta được b = ±12 1.0đ +b = 12, ta được f (t) = t3 + 12t − 16 có nghiệm duy nhất (không thỏa) +b = −12, ta được f (t) = t3 − 12t − 16 có ba nghiệm t = −2; t = 2; t = 4 Vậy hệ đã cho có nghiệm (x; y; z) là (−2; 2; 4) và các hoán vị của nó. √ √ a) Phương trình đặc trưng λ2 − 4λ + 1 = 0 ; λ1 = 2 − 3 ; λ2 = 2 + 3 n n u (n = c1 λ1 + c2 λ2 c1 λ1 + c2 λ2 = 1 c1 λ 21 + c2 λ22 = 2 λ λ 1 2 √ D = 2 2 = λ1 λ2 (λ2 − λ1 ) = 2 3 λ1 λ2 1đ ...