Giải tích 2 – Đề số 12

Tổng hợp các bài tập toán giải tích, giúp các bạn ôn tập hiệu quả hơn, chuẩn bị tốt hơn cho các kì thi và kiểm tra môn toán giải tích đạt điểm số cao. Chúc các bạn thành công!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giải tích 2 – Đề số 12 Giải tích 2 – Đề số 12Câu 1: Tính f x (1,1) của hàm f ( x, y )  2  4  x 2  y 2 và biểu diễn hình học củađạo hàm riêng này như là hệ số góc của tiếp tuyếnBài giải: f x (1,1)  2  2 1 f x (1,1)   2 Mặt phẳng y=1 cắt f ( x, y ) tạo thành đồ thị C1 1 Tiếp tuyến của C1 tại điểm M(1,1, 2  2 ) có hệ số góc là: f x (1,1)   2Câu 2: Tìm gtln, gtnn của f ( x, y )  x3  y 3  3 xy trên miền 0  x  2, 1  y  2Bài giải: f x ( x, y )  3x 2  3 y =0 f y ( x, y )  3 y 2  3 x =0  x=y=1khi x=0 => f ( y )  y 3 , y  [1, 2]  max  8, min  1 ;khi x=2 => f ( y )  y 3  6 y  8, y  [1, 2]  max  13, min  4khi y=-1 => f ( x)  x 3  1  3 x ; f ( x )  3 x 2  3 vô nghiệmkhi y=2 => f ( x )  x 3  8  6 x, x  (0, 2) ; f ( x)  3x 2  6 => x  2  f   2, 2  8  4 2Max f=13 đạt tại (2,-1), min f =-1 đạt tại (0,-1)  (1) nCâu 3: Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số:  n n 1 n  1Bài giải:lim | un | 1  0 => chuỗi phân kỳ theo điều kiện cần.n   (2n  1)( x  3)nCâu 4: Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa  n 1 3n3  n  ln 3 nBài giải: lim n un  x  3 n  Để chuỗi hội tụ => x  3  1 => 2  x  4 (1) n (2n  1) (1) n 2 x=2 => un  hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz 3n3  n .ln 3 n 3n1/2 ln 3 n (2n  1) 2 x=4 => un  phân kỳ theo tiêu chuẩn tích phân 3 3n  n .ln n 3 3n ln 3 n 1/2 vậy 2 x4Câu 5:Tính tích phân kép I   max  x, y dxdy trong đó D là miền phẳng giới hạn Dbởi 0  x  4, 0  y  4 .Bài giải:Trên miền D1 max(x,y)=y, trên miền D2 max(x,y)=xDo đó I   max  x, y dxdy   ydxdy   xdxdy D D1 D2 4 4 4 x 128   dx  ydy   dx  xdy  0 x 0 0 3Câu 6: Tính tích phân bội ba I   xdxdydz , trong đó V là vật thể được giới hạn V 2 2 2 2 2bởi x  y  z  0, x  y  z  2 .Bài giải:  y  r cos  0    2  Đổi sang toạ độ trụ  z  r sin   V 0  r  1 x  x  2 2   2  r  z  r 2 1 r2 7 I  d  dr 0 0  rxdx   12  2 r 2Câu 7: Tính tích phân mặt loại hai I   x 3dydz  y 3dxdz  z 3dxdy với S là mặt phía Sngoài của vật thể giới hạn bởi x  z  y 2 , 0  y  1 . 2 2Bài giải:Áp dụng công thức O-G: I   x 3dydz  y 3dxdz  z 3 dxdy  3 ( x 2  y 2  z 2 )dxdydz S V  z  r cos  0    2  Đổi sang toạ độ trụ:  x  r sin   V 0  r  1 y  y r  y  1   2 1 1 2 1 4 1 9 3  d  rdr  ( r  y )d y  3  d  (r 2  r 3  ) rdr   2 2 0 0 r 0 0 3 3 10