Giải tích C1

Tài liệu giảng dạy tại trường Đại học khoa học tự nhiên. Phép toán cơ bản của giải tích là "phép lấy giới hạn". Để nghiên cứu giới hạn của một dãy số, hàm số,... ta phải "đo" được "độ xa gần" giữa các đối tượng cần xét giới hạn đó. Do vậy, những khái niệm như là mêtric, tôpô được tạo ra để mô tả một cách chính xác, đầy đủ việc đo độ xa, gần ấy.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giải tích C1Giải tích C1 Gi i Tích C1 Nguy n Th Thu Vân Đ i h c Khoa H c T Nhiên 2009 - 2010TVNguyen (Đ i h c Khoa H c T Nhiên) Gi i Tích C1 2009 - 2010 1 / 122 Cách Tính Đi m Môn H c Ki m tra gi a h c kỳ : 30% (xem thông báo) Ki m tra cu i kỳ : 70% M t S Ph n M m H Tr Tính Toán Maxima - Mathematica - Maple - MatlabTVNguyen (Đ i h c Khoa H c T Nhiên) Gi i Tích C1 2009 - 2010 2 / 122 Tài Li u Tham Kh o 1 Dương Minh Đ c: Giáo Trình Toán Gi i Tích 1, NXB Th ng Kê (2004) 2 Nguy n Qu c Hưng: Toán Cao C p C1 và M t S ng D ng Trong Kinh Doanh, NXB ĐHQG Tp.HCM (2009) 3 Phan Qu c Khánh: Phép Tính Vi Tích Phân (t p 1), NXB Giáo D c (1998) 4 Nguy n Thành Long và Nguy n Công Tâm: Toán Cao C p C1, Khoa Kinh T ĐHQG TpHCM (2004) 5 Stewart J.: Calculus - Concepts and Contexts, Brooks-Cole (2002)TVNguyen (Đ i h c Khoa H c T Nhiên) Gi i Tích C1 2009 - 2010 3 / 122 Chương 0. S Ph c 1. D ng đ i s c a s ph c Đ nh nghĩa: D ng đ i s c a s ph c : z = a + ib a g i là ph n th c c a s ph c z, ký hi u là Re (z ) b g i là ph n o c a s ph c z, ký hi u là Im (z ) T p h p s ph c ta ký hi u là C hay còn g i là m t ph ng ph c p Modul c a s ph c: jz j = a2 + b2 : kho ng cách t z t i O z =a ib : s ph c liên h p c a zTVNguyen (Đ i h c Khoa H c T Nhiên) Gi i Tích C1 2009 - 2010 4 / 122 Các phép toán: Cho 2 s ph c z1 = a1 + ib1 ; z2 = a2 + ib2 . Khi đó: 1 z1 = z2 , a1 = a2; b1 = b2 2 z1 + z2 = (a1 + a2 ) + i (b1 + b2 ) 3 z1 .z2 = (a1 + ib1 )(a2 + ib2 )TVNguyen (Đ i h c Khoa H c T Nhiên) Gi i Tích C1 2009 - 2010 5 / 122 Chương 0. S Ph c 2. D ng lư ng giác Đ nh nghĩa: Cho s ph c z = a + ib, z 6= 0. G i r là kho ng cách t z t i g c O và ϕ là góc gi a hư ng dương c a tr c th c v i bán kính vector c a đi m z. Khi đó, d ng lư ng giác c a s ph c z đư c vi t như sau: z = a + ib = r (cos ϕ + i sin ϕ) Khi z = 0 ta l y r = 0, còn ϕ không xác đ nh Công th c chuy n t d ng đ i s sang lư ng giác như sau: p b r = a2 + b2 ; tg ϕ = a c n ch n ϕ sao cho b và sinϕ cùng d uTVNguyen (Đ i h c Khoa H c T Nhiên) Gi i Tích C1 2009 - 2010 6 / 122 Cho 2 s ph c z1 = r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ); z2 = r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2 ). Khi đó: 1 S b ng nhau: z1 = z2 , r1 = r2; ϕ1 = ϕ2 + k2π, k 2 Z 2 Phép nhân/chia 2 s ph c: z1 r1 = (cos( ϕ1 ϕ2 ) + i sin( ϕ1 ϕ2 )) z2 r2 z1 z2 = r1 r2 (cos( ϕ1 + ϕ2 ) + i sin( ϕ1 + ϕ2 )) 3 Công th c Moivre: (cos ϕ + i sin ϕ)n = cos nϕ + i sin nϕ 8n 2 Z 4 Công th c Euler (thư ng đư c g i là d ng mũ c a s ph c) re i ϕ = r (cos ϕ + i sin ϕ)TVNguyen (Đ i h c Khoa H c T Nhiên) Gi i Tích C1 2009 - 2010 7 / 122 Chương 0. S Ph c 3. D ng lũy th a, khai căn Bài toán: Cho α 2 C . Tìm z 2 C th a phương trình z n = α? Gi s α = r (cos ϕ + i sin ϕ). Đ t: z = ρ(cos θ + i sin θ ), ta có: zn = ρn (cos nθ + i sin nθ ) = r (cos ϕ + i sin ϕ) p ϕ + k2π , ρ = n r; θ = ,k 2 Z n V y các nghi m c a phương trình z n = α là: p n ϕ + k2π ϕ + k2π zk = r cos + i sin ,k 2 Z n n Chú ý: th c s k ch c n cho các giá tr k = 0, 1, 2, ..., n 1 là ta có đ m i nghi m c a phương trìnhTVNguyen (Đ i h c Khoa H c T Nhiên) Gi i Tích C1 2009 - 2010 8 / 122 Thí d : 1 Tìm các căn b c n c a đơn v ? p 2 Bi u di n d ng lư ng giác và d ng mũ c a s ph c z = 2 + 2 3i p 3 Tìm các căn b c 3 c a s ph c z = 2 + 2 3i p 20 1+i 3 4 ...