Giáo án xác xuất thống kê - Chương 2. Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối

Biến ngẫu nhiên (hay đại lượng ngẫunhiên) (ĐLNN) là các đại lượng ứng với mỗikết quả của phép thử cho một số với một xácsuất nào đó,có các hàm phân phối ,ĐLNN chia làm 2 loại :loại rời rạc và loại liên tục
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo án xác xuất thống kê - Chương 2. Biến ngẫu nhiên và hàm phân phốiChương 2. Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối Biến ngẫu nhiên (hay đại lượng ngẫu nhiên) (ĐLNN) là các đại lượng ứng với mỗi kết quả của phép thử cho một số với một xác suất nào đó. ĐLNN ký hiệu bằng X, Y, Z… Giá trị của nó ký hiệu bằng x, y, z… ĐLNN chia làm hai loại: loại rời rạc và loại liên tục.2.1 ĐLNN rời rạc2.1.1 Định nghĩa Giá trị của nó là tập hữu hạn hoặc đếmđược.VD 2.1: - X là số lần xuất hiện mặt sấp khigieo một lần đồng xu. X có thể nhận 2 giá trịlà 0, 1. - X là số chấm ở mặt xuất hiện khi gieomột lần con xúc xắc. X nhận một trong các giátrị: 1,2,3,4,5,6. - X là số viên đạn trúng đích khi bắn liêntiếp 3 viên đạn độc lập vào 1 bia. Giá trị có Giả sử X là ĐLNN rời rạc. Nó nhận cácgiá trị có thể có với xác suất tương ứng là P[X = x i ] = pi 0. n x1 x 2 ... x n X pk = 1 P X p1 p2 ... p n k =1 Bảng trên gọi là luật phân phối của X.Nếu có bảng trên thì xác suất b] = P[a X pi a xi bVD 2.2: Gieo 1 lần con xúc xắc đều đặn. GọiX là số chấm ở mặt xuất hiện. Tìm phânphối xác suất của X. Tính P[1≤X≤3].VD 2.3: Ba xạ thủ độc lập bắn vào 1 bia(mỗi người bắn 1 viên). Xác suất để các xạthủ bắn trúng là 0,8; 0,7; 0,6. Gọi X là số viênđạn trúng bia. a/ Lập luật phân phối của X. b/ Tính P[2≤X≤5].2.1.2 Hàm phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất của ĐLNN rời rạcX, ký hiFXu(x) , được định nghĩa ệ FX (x) = pj x j VD 2.5: Một người có 3 viên đạn. Xác suấtbắn trúng mục tiêu là 0,6. Người này bắnđến khi hoặc hết đạn hoặc trúng mục tiêumới thôi. Gọi X là số viên đạn sẽ bắn. a/ Tìm luật phân phối của X. b/ Tìm hàm phân phối xác suất của X. c/ Tính P[1≤X2.2 ĐLNN liên tục2.2.1 Định nghĩa Giá trị của X lấp đầy khoảng (a;b) nào đó.VD 2.6: Nếu quan sát nhiệt độ X tại một thờiđiểm trong ngày thì ta có ĐLNN liên tục. Thay cho việc liệt kê các giá trịx1 , x 2 ,..., x n ,ta chỉ ra đoạn (a,b) mà X nhận giá trị ở đoạn đó.Còn thay cho các xác suất p1 ,p2 ,..., p n , ta đưa rahàm f(x) với b f (x) 0, f (x)dx = 1 a Hàm f(x) được gọi là hàm mật độ phânphối xác suất.2.2.2 Hàm phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất của ĐLNN liêntục X có hàm mật độ phân phối xác suất f(x) xđược định nghĩa FX (x) = f (x)dx −2.2.3 Một số tính chất cơ bản i. FX (x) liên tục và f (x) = FX (x), ∀x ﾡ + f (x)dx = 1 ii. − b] = P[a < X iii. P[a X b] b = P[a X < b] = P[a < X < b] = f (x)dx aVD 2.7: ĐLNN liên tục X có hàm phân phốixác suất 0, x0 2 FX (x) = ax , x (0,3) 1, x3Tìm a và hàm mật độ f(x) của X.VD 2.8: ĐLNN liên tục X có hàm mật độphân phối xác suất 0, x0 02.3 Một số luật phân phối2.3.1 Loại rời rạc2.3.1.1 Phân phối siêu bộiX H(N, N A , n) * Mô hình bài toán: Cho tập hợp gồm Nphần tử, trong đó cóN A phần tử có tính chấtA. Lấy ngẫu nhiên n phần tử (không hoànlại). Gọi X là số phần tử có tính chất A trongn phần tử lấy ra. Lập luật phân phối của X. * Định nghĩa: Ta nói X có phân phối siêubội với xs tương ứng C k A C n −−kN A N N P[X = k] = , k = 0,1,..., n n CN VD 2.9: Từ nhóm 9 nhà bác học, trong đócó 5 nhà vật lý và 4 nhà toán học, chọn ngẫunhiên 3 nhà bác học để thành lập hội đồng.Tính xs để trong 3 nhà bác học này có đúng 1nhà toán học.2.3.1.2 Phân phối nhị thức:X B(n;p)* Dãy phép thử Bernoulli Là dãy n phép thử thỏa 3 điều kiện + các phép thử độc lập với nhau. + trong mỗi phép thử, ta chỉ quan tâm đếnbc A nào đó. Nếu A xảy ra thì phép thử gọi làthắng lợi, ngược lại phép thử gọi là thất bại. + xs xuất hiện A trong mỗi phép thử lànhư nhau = p và P(A) = 1 − p . P(A)VD 2.10: Gieo 10 lần một con xúc xắc vàxem mặt 6 có xuất hiện không? Ở đây n=10, A=“xuất hiện mặt 6 chấm”. 1 5 p = P(A) = , q = . 6 6* Mô hình phân phối nhị thức: Giả sử X là sốlần xuất hiện bc thắng lợi A trong dãy n phépthử Bernoulli, với P(A)=p. Hãy tìm luật phânphối của X.* Định nghĩa: Ta nói X có phân phối nhị thứcvới xs tương ứng k k n−k P[X = k] = C n p q , k = 0,1,..., n VD 2.11: Một nhà máy sản xuất tự độngvới tỷ lệ phế phẩm là 3%. Lấy liên tiếp 10sản phẩm (có hoàn lại) để kiểm tra. Tính xsđể trong số đó a) có 2 phế phẩm. b) có không quá 2 phế phẩm.2.3.1.3 Phân phối Poisson: X �P(λ ) Cho ĐLNN rời rạc X. Ta nói X có phânphối Poisson với tham sốλ , nếu X nhận cácgiá trị 0, 1, 2,… với xs tương ứng −λ k eλ P[X = k] = , k = 0,1,2,... k!Bài tập: 49, 57 sách Bài tập ...