Giáo trình giải tích 2 (Chương 1: Hàm số nhiều biến số) - Nguyễn Thị Minh Ngọc

Nội dung của giáo trình bao gồm: hàm số nhiều biến số; hàm nhiều biến, hàm hai biến, đồ thị, đường mức, hàm ba hoặc nhiều biến, giới hạn và sự liên tục, hàm đa thức hai biến... Mời các bạn cùng tham khảo giáo trình để nắm chi tiết nội dung kiến thức.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình giải tích 2 (Chương 1: Hàm số nhiều biến số) - Nguyễn Thị Minh NgọcNguyễn Thị Minh Ngọc Chương 1 – Toán 3 CHƯƠNG 1. HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ Đồthịcủacáchàmhaibiếnsốlànhữngmặtcongvàmặtphẳng,kểcảnhữnghìnhdạngnhưhẻmnúi.TạivòmPhippsởphíaBắcUtah,bạncóthểtìmđượcmộtđiểmmàtạiđólàvì tríthấpnhấtnếunhìntheomộthướngvàcaonhấtnếu nhìntheohướngkhác. Ở họcphầntrướcchúngta đã nóiđếncáchàmmộtbiếnsố.Nhưngtrongthựctế,các đạilượngvậtlýthườngphụthuộcvàohaihoặcnhiều biến số, vì vậy trong chương này chúng ta quan tâm đếncáchàmnhiềubiếnvàđưaranhữnglýthuyếtcơ Vòm Phipps bảnvềhàmnhiềubiếntronggiảitích.1.1. Hàm nhiều biến Trongphầnnàychúngtanghiêncứuhàm2haynhiềubiếntừ4cáchtiếpcậnsau: - Bằnglờinói(hàmsốđượcdiễnđạtbằngtừngữ) - Bằngsốliệu(hàmsốđượcchobởimộtbảnggiátrị) - Bằngđạisố(hàmsốchobởimộtcôngthứcxácđịnh) - Bằngmắt(hàmsốchobởimộtđồthịhoặccácđườngmức).1.1.1. Hàm hai biến Nhiệtđộcủamộtđiểmtrênbềmặtcủatráiđấttạibấtkỳthờigiannàophụthuộcvàokinhđộxvàvĩđộycủađiểmđó.Chúngtacóxemđólàhàmcủahaibiếnxvày,hoặcnhưlàhàmcủamộtcặp(x,y).ChúngtabiểuthịsựphụthuộcnàybằngcáchviếtT=f(x,y). Thể tích V của hình trụ tròn phụ thuộc vào bán kính r và chiều cao h của nó, vì = ℎ.ChúngtanóirằngVlàhàmcủarvàh,vàviết ( , ℎ) = ℎ. Định nghĩa:Mộthàm hai biến f (function f of two variables)làmộtquyluậtgánmỗi cặpsốthực(x,y)thuộctậpDvớiduynhấtmộtsốthựcđượcxácđịnhbởif(x,y).Khi đótậpDlàmiền xác định (domain)củahàmfvàmiền giá trị(range)củanólàtập cácgiátrịcủaftứclà{ ( , )|( , ) ∈ }. Tathườngviết = ( , )đểchỉrõgiátrịđượcxácđịnhbởif tạiđiểm(x,y).Biếnxvàylàcácbiến độc lập(independent variables)vàzlàbiếnphụthuộc.(Sosánhđiềunàyvớikýhiệu = ( )củahàmmộtbiến). Một hàmhaibiếnlàmột hàmsốmàmiềnxácđịnhcủa nólàtậpconcủaℝ vàmiềngiátrịcủanólàtậpconcủaℝ.Có thể hình dung một hàm số bằng sơ đồ mũi tên như hình 1, trongđómiềnxácđịnhDcủahàmsốđượcthểhiệnnhưmột tậpconcủamặtphẳngtọađộOxyvàmiềngiátrịlàmộttập cácsốtrêntrụcsốthựcvàđượcchỉranhưtrụcOz.Vídụnếu 1Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương 1 – Toán 3 ( , )biểuthịnhiệtđộcủamộtđiểm(x,y)trênmộtchiếcđĩakimloạibằngphẳngcóhìnhdạngD,tacóthểhiểutrụcOznhưmộtcáinhiệtkếbiểuthịcácgiátrịnhiệtđộnhậnđược. NếumộthàmsốfđượcchobởimộtcôngthứcvàmiềnxácđịnhchưađượcchỉrõthìkhiđómiềnxácđịnhDcủahàmfđượchiểulàtậphợptấtcảcáccặp(x,y)saochogiátrịcủabiểuthứcnhậnđượclàmộtsốthựcxácđịnh.Ví dụ 1:Vớimỗihàmsốsau,tínhgiátrị (3,2),tìmvàmôtảmiềnxácđịnhcủanó. (a) ( , ) = (b) ( , ) = ( − ) √ √Lời giải: a) (3, 2) = = Biểuthứccủafxácđịnhnếumẫusốkhác0vàbiểuthức dướidấucănbậc2khôngâm.DođómiềnxácđịnhDcủaflà: = {( , )| + + 1 ≥ 0, ≠ 1} Bấtphươngtrình + + 1 ≥ 0hay ≥ − − 1biểudiễn tất cả các điểm thuộc đường thẳng và nằm phía trên đường thẳng = − − 1 với điều kiện ≠ 1 nghĩa là các điểm thuộc đườngthẳng = 1bịloạibỏkhỏimiềnxácđịnhnhưhình2. b) (3,2) = 3 ln(2 − 3) = 3 1 = 0 Vì ( − ) xác định khi − > 0 hay < , miền xác định của hàm f là = {( , )| < }. Đây là tậphợpcácđiểmnằmởphíabêntráicủaparabol = (xemhình3). Không phải tất cả các hàm số đều được biểu diễn bởi một công thức rõ ràng. Hàm số trong ví dụ sau đây đượcdiễnđạtbằnglờivàbằngsốliệucácgiátrịcủanó.Ví dụ 2: Ởnhữngvùngcóthờitiếtmùađôngkhắcnghiệt,chỉsốgiólạnh(wind-chillindex)thườngđượcsửdụngđểmôtảmứcđộnghiêmtrọngcủacáilạnh.ChỉsốWnàylànhiệtđộ cảm nhận phụ thuộc vào nhiệt độ thực tế T và tốc độ gió v. Vì vậy, WlàhàmcủaTv ...