Giáo trình Giải tích 3 - Tạ Lê Lợi (chủ biên)

Giáo trình này trình bày các kiến thức cơ bản nhất của giải tích hàm. Chương I trình bày các kiến thức cơ bản về không gian mêtric. Các chương II và III trình bày ngắn gọn về không gian định chuẩn, không gian Banach và lý thuyết toán tử tuyến tính liên tục. Chương IV trình bày các nguyên lý cơ bản của giải tích hàm. Chương V trình bày về tôpô yếu, toán tử liên hợp và toán tử compăc. Cuối cùng chương VI trình bày lý thuyết không gian Hilbert và các toán tử tuyến tính liên quan.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Giải tích 3 - Tạ Lê Lợi (chủ biên) TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC ÑAØ LAÏT KHOA TOAÙN - TIN HOÏC TAÏ LE LÔÏI - ÑOà NGUYEÂN SÔN GIAÛI TÍCH 3 (Giaùo Trình) -- Löu haønh noäi boä -- Ñaø Laït 2008 Giaûi Tích 3 Taï Leâ Lôïi - Ñoã Nguyeân Sôn Muïc luïc Chöông I. Tích phaân phuï thuoäc tham soá 1. Tích phaân phuï thuoäc tham soá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2. Tích phaân suy roäng phuï thuoäc tham soá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3. Caùc tích phaân Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Chöông II. Tích phaân haøm soá treân ña taïp 1. Ña taïp khaû vi trong Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2. Tích phaân haøm soá treân ña taïp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Chöông III. Daïng vi phaân 1. Daïng k-tuyeán tính phaûn ñoái xöùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2. Daïng vi phaân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3. Boå ñeà Poincareù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Chöông IV. Tích phaân daïng vi phaân 1. Ñònh höôùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2. Tích phaân daïng vi phaân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3. Coâng thöùc Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Baøi taäp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4 I. TÝch ph©n phô thuéc tham sè 1 TÝch ph©n phô thuéc tham sè 1.1 §Þnh nghÜa §Þnh nghÜa 1. XÐt hµm f (x, t) = f (x1 , . . . , xn , t1, . . . , tm ) x¸c ®Þnh trªn miÒn X × T ⊂ Rn × Rm . Gi¶ sö X ®o ®-îc (Jordan) vµ víi mçi gi¸ trÞ cña t ∈ T cè ®Þnh, hµm f (x, t) kh¶ tÝch theo x trªn X. Khi ®ã tÝch ph©n I(t) = f (x, t)dx (1) X lµ hµm theo biÕn t = (t1 , . . . , tm ), gäi lµ tÝch ph©n phô thuéc tham sè víi m tham sè t1 , . . . , tm . 1.2 TÝnh liªn tôc §Þnh lý 1. NÕu f (x, t) liªn tôc trªn X × T ⊂ Rn × Rm , ë ®©y X, T lµ c¸c tËp compact, th× tÝch ph©n I(t) = f (x, t)dx X liªn tôc trªn T . Chøng minh. Cè ®Þnh t0 ∈ T . Ta sÏ chøng minh víi mäi > 0, tån t¹i δ > 0 sao cho víi mäi t ∈ T , d(t, t0) < δ ta cã | I(t) − I(t0) |< . Tõ ®Þnh nghÜa suy ra | I(t) − I(t0) |= (f (x, t) − f (x, t0))dx ≤ | f (x, t) − f (x, t0) | dx. X X Do f liªn tôc trªn compact nªn liªn tôc ®Òu trªn ®ã, tøc lµ tån t¹i δ > 0 sao cho | f (x , t ) − f (x, t) |< v(X) víi mäi (x, t), (x , t ) ∈ X × T , d((x , t ), (x, t)) < δ. Tõ ®ã, víi d(t, t0) < δ ta cã | I(t) − I(t0) |< v(X) = . v(X) 5 2 1 √ 1 √ VÝ dô. 1) Ta cã lim x2 + t2dx = |x|dx = 1 v× hµm x2 + t2 liªn tôc trªn t→0 −1 −1 [−1, 1] × [− , ]. 2 −2 xt−2e−x t nÕu t = 0 2) Kh¶o s¸t tÝnh liªn tôc t¹i ®iÓm (0, 0) cña hµm f (x, t) = . 0 nÕu t = 0 NÕu f (x, t) liªn tôc t¹i (0, 0), th× f (x, t) liªn tôc trªn [0, 1] × [− , ]. Khi ®ã, tÝch 1 ph©n I(t) = f (x, t)dx liªn tôc trªn [− , ] . Nh-ng ta cã 0 1 1 2 t−2 1 2 −2 lim I(t) = lim xt−2e−x = − lim e−x t d(−x2t−2 ) t→0 t→0 0 2 t→0 0 1 −2 1 ...